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Generalisation d’un type de problèmes relatifs aux équations aux dérivées partielles du type elliptique. (French) JFM 64.1157.01

Ziel der Arbeit ist die Übertragung des bei Problemen des zweiten Typus in einer neueren Arbeit (Ann. Soc. Polonaise Math. 14 (1936), 74-115; JFM 62.1297.*) erreichten Allgemeinheitsgrades auf Probleme des dritten Typus. In der Hauptsache sind die zugrunde liegenden Voraussetzungen die folgenden.
a) Bezüglich des Gebietes. Im euklidischen Raum \(R_m\) der \(x_1,\ldots, x_m\) werden geschlossene \((m - n)\)-dimensionale Mannigfaltigkeiten \(\mathfrak{M}_n\) (\(n = 1,\ldots, m\)) angenommen, die in endlichviele glatte Stücke geteilt werden können, in deren jedem die \(x\) als differenzierbare Funktionen von Parametern \(t_1,\ldots, t_{n-m}\) darstellbar sind, wobei ihre Funktionaldeterminanten nach den \(t\) nirgends gleichzeitig verschwinden und für \(n = 1\) die Ableitungen überdies einer Lipschitzbedingung vom Exponenten \(h\) genügen. Ferner wird im \(R_m\) ein Gebiet \(\mathfrak{D}\) betrachtet, dessen Rand \(\mathfrak{S}\) doppelpunktfrei ist und den gleichen Bedingungen genügt wie \(\mathfrak{M}_1\).
b) Bezüglich der Gleichung. \(r_n(X)\) bedeute den Abstand des Punktes \(X\) von \(\mathfrak{M}_n\). In \(\mathfrak{D}+\mathfrak{S}\) seien Funktionen \(a_{\alpha\beta}, b_\alpha, c, f\), (\(\alpha, \beta = 1,\ldots, m\)) gegeben, so daß die \(a_{\alpha\beta}\) einer Lipschitzbedingung vom Exponenten \(h\) genügen, die Form \(\sum a_{\alpha\beta},x_\alpha x_\beta\) definit positiv ist, die \(b_\alpha\) in \(\mathfrak{D}+\mathfrak{S}-\mathfrak{M}_1\) stetig und von der Ordnung \(O(r_1^{h-1})\) sind, \(c\) in \(\mathfrak{D}+\mathfrak{S}-\mathfrak{M}_1-\mathfrak{M}_2\) stetig und \(O(r_1^{h-1}+r_2^{h-2})\) ist, \(f\) stetig in \(\mathfrak{D}+\mathfrak{S}-\sum\mathfrak{M}_n\) und \(O(\sum r_n^{h-n})\) ist. Mit der Abkürzung \[ \mathfrak{F}u\equiv \sum a_{\alpha\beta}\dfrac{\partial^2u}{\partial x_\alpha\partial x_\beta} + \sum b_\alpha\dfrac{\partial u}{\partial x_\alpha} + cu \] ist die Gleichung \[ \mathfrak{F}u = f \tag{1} \] zu lösen, wobei die gesuchte Funktion \(u\) in \(\mathfrak{D} \sum\mathfrak{M}_n\) Ableitungen besitzen soll, die höchstens in \(\sum\limits_2^m\mathfrak{M}_n\) unstetig sind, und bei unbeschränkt wachsendem Nenner der Bedingung \[ \lim\,u: \;\{\log\,4R - \log\,r_2 + \sum\limits_3^m r_n^{2-n}\} = 0 \] unterworfen ist, in der 2 \(R\) die Länge der größten Sehne von \(\mathfrak{S}\) bedeutet.
c) Bezüglich der Randbedingungen. \(\overline{\omega}_\alpha (Y)\), (\(\alpha = 1,\ldots, m\)) bedeuten die Richtungskosinus der äußeren Normalen von \(\mathfrak{S}\) im Punkte \(Y(y_1,\ldots, y_m)\). \(Y_t\) bezeichnet den Punkt mit den Koordinaten \[ y_\alpha -t\sum\limits_\beta a_{\alpha\beta}\overline{\omega}_\beta + o\left(\dfrac{t}{\log\,t}\right), \quad (t>0, \;\alpha = 1,\ldots, m), \] \(\psi(Y)\) eine auf \(\mathfrak{S} - \mathfrak{M}_2\) stetige Funktion der Ordnung \(O(r_2^{h-1})\) des laufenden Punktes \(Y\) auf \(\mathfrak{S}\), \(\theta u\) die Operation \[ \theta u(Y)\equiv\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{u(Y) - u(Y_t)}{t} + \psi (Y)u(Y). \] Ist dann \(\varphi (Y)\) auf \(\mathfrak{S}\) gegeben, auf \(\mathfrak{S} -\sum\limits_2^m\mathfrak{M}_n\) stetig und von der Ordnung \(O(\sum\limits_2^mr_n^{h+1-n})\), so soll \(u\) in jedem Punkte von \(\mathfrak{D}+\mathfrak{S} -\sum\limits_2^m\mathfrak{M}_n\) stetig sein und auf \(\mathfrak{S} -\sum\limits_2^m\mathfrak{M}_n\) der Randbedingung \[ \theta u(Y) = \varphi (Y) \] genügen.
Ein solches Problem heißt vom dritten Typus. Lösungen, die sich nur auf \(\sum\limits_2^m\mathfrak{M}_n\) unterscheiden, gelten als gleich.
Ist dann in \(\mathfrak{D}\) \(c\leqq 0\), auf \(\mathfrak{S}\) \(\psi\geqq 0\), ohne daß \(c, \psi\) fast überall gleichzeitig verschwinden, so besitzt das Problem genau eine Lösung \(u\), die so definiert werden kann, daß sie auch in \(\mathfrak{D}+\mathfrak{S} -\sum\limits_3^m\mathfrak{M}_n\) stetig ist, und falls \(h <1\) ist, gleich \(O(\sum\limits_3^mr_n^{h+2-n})\) ist. Die Aufgabe läßt sich dann auf die Lösung einer Fredholmschen Gleichung zurückführen, deren Kern eine Greensche Funktion ist; ihren Eigenschaften und der Abschätzung ihrer selbst wie ihrer Ableitungen ist naturgemäß der größte Teil der Arbeit gewidmet.

Citations:

JFM 62.1297.*