Giraud, G. Generalisation d’un type de problèmes relatifs aux équations aux dérivées partielles du type elliptique. (French) JFM 64.1157.01 Ann. Scuola norm. sup. Pisa (2) 7, 25-71 (1938). Ziel der Arbeit ist die Übertragung des bei Problemen des zweiten Typus in einer neueren Arbeit (Ann. Soc. Polonaise Math. 14 (1936), 74-115; JFM 62.1297.*) erreichten Allgemeinheitsgrades auf Probleme des dritten Typus. In der Hauptsache sind die zugrunde liegenden Voraussetzungen die folgenden.a) Bezüglich des Gebietes. Im euklidischen Raum \(R_m\) der \(x_1,\ldots, x_m\) werden geschlossene \((m - n)\)-dimensionale Mannigfaltigkeiten \(\mathfrak{M}_n\) (\(n = 1,\ldots, m\)) angenommen, die in endlichviele glatte Stücke geteilt werden können, in deren jedem die \(x\) als differenzierbare Funktionen von Parametern \(t_1,\ldots, t_{n-m}\) darstellbar sind, wobei ihre Funktionaldeterminanten nach den \(t\) nirgends gleichzeitig verschwinden und für \(n = 1\) die Ableitungen überdies einer Lipschitzbedingung vom Exponenten \(h\) genügen. Ferner wird im \(R_m\) ein Gebiet \(\mathfrak{D}\) betrachtet, dessen Rand \(\mathfrak{S}\) doppelpunktfrei ist und den gleichen Bedingungen genügt wie \(\mathfrak{M}_1\).b) Bezüglich der Gleichung. \(r_n(X)\) bedeute den Abstand des Punktes \(X\) von \(\mathfrak{M}_n\). In \(\mathfrak{D}+\mathfrak{S}\) seien Funktionen \(a_{\alpha\beta}, b_\alpha, c, f\), (\(\alpha, \beta = 1,\ldots, m\)) gegeben, so daß die \(a_{\alpha\beta}\) einer Lipschitzbedingung vom Exponenten \(h\) genügen, die Form \(\sum a_{\alpha\beta},x_\alpha x_\beta\) definit positiv ist, die \(b_\alpha\) in \(\mathfrak{D}+\mathfrak{S}-\mathfrak{M}_1\) stetig und von der Ordnung \(O(r_1^{h-1})\) sind, \(c\) in \(\mathfrak{D}+\mathfrak{S}-\mathfrak{M}_1-\mathfrak{M}_2\) stetig und \(O(r_1^{h-1}+r_2^{h-2})\) ist, \(f\) stetig in \(\mathfrak{D}+\mathfrak{S}-\sum\mathfrak{M}_n\) und \(O(\sum r_n^{h-n})\) ist. Mit der Abkürzung \[ \mathfrak{F}u\equiv \sum a_{\alpha\beta}\dfrac{\partial^2u}{\partial x_\alpha\partial x_\beta} + \sum b_\alpha\dfrac{\partial u}{\partial x_\alpha} + cu \] ist die Gleichung \[ \mathfrak{F}u = f \tag{1} \] zu lösen, wobei die gesuchte Funktion \(u\) in \(\mathfrak{D} \sum\mathfrak{M}_n\) Ableitungen besitzen soll, die höchstens in \(\sum\limits_2^m\mathfrak{M}_n\) unstetig sind, und bei unbeschränkt wachsendem Nenner der Bedingung \[ \lim\,u: \;\{\log\,4R - \log\,r_2 + \sum\limits_3^m r_n^{2-n}\} = 0 \] unterworfen ist, in der 2 \(R\) die Länge der größten Sehne von \(\mathfrak{S}\) bedeutet.c) Bezüglich der Randbedingungen. \(\overline{\omega}_\alpha (Y)\), (\(\alpha = 1,\ldots, m\)) bedeuten die Richtungskosinus der äußeren Normalen von \(\mathfrak{S}\) im Punkte \(Y(y_1,\ldots, y_m)\). \(Y_t\) bezeichnet den Punkt mit den Koordinaten \[ y_\alpha -t\sum\limits_\beta a_{\alpha\beta}\overline{\omega}_\beta + o\left(\dfrac{t}{\log\,t}\right), \quad (t>0, \;\alpha = 1,\ldots, m), \] \(\psi(Y)\) eine auf \(\mathfrak{S} - \mathfrak{M}_2\) stetige Funktion der Ordnung \(O(r_2^{h-1})\) des laufenden Punktes \(Y\) auf \(\mathfrak{S}\), \(\theta u\) die Operation \[ \theta u(Y)\equiv\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{u(Y) - u(Y_t)}{t} + \psi (Y)u(Y). \] Ist dann \(\varphi (Y)\) auf \(\mathfrak{S}\) gegeben, auf \(\mathfrak{S} -\sum\limits_2^m\mathfrak{M}_n\) stetig und von der Ordnung \(O(\sum\limits_2^mr_n^{h+1-n})\), so soll \(u\) in jedem Punkte von \(\mathfrak{D}+\mathfrak{S} -\sum\limits_2^m\mathfrak{M}_n\) stetig sein und auf \(\mathfrak{S} -\sum\limits_2^m\mathfrak{M}_n\) der Randbedingung \[ \theta u(Y) = \varphi (Y) \] genügen.Ein solches Problem heißt vom dritten Typus. Lösungen, die sich nur auf \(\sum\limits_2^m\mathfrak{M}_n\) unterscheiden, gelten als gleich.Ist dann in \(\mathfrak{D}\) \(c\leqq 0\), auf \(\mathfrak{S}\) \(\psi\geqq 0\), ohne daß \(c, \psi\) fast überall gleichzeitig verschwinden, so besitzt das Problem genau eine Lösung \(u\), die so definiert werden kann, daß sie auch in \(\mathfrak{D}+\mathfrak{S} -\sum\limits_3^m\mathfrak{M}_n\) stetig ist, und falls \(h <1\) ist, gleich \(O(\sum\limits_3^mr_n^{h+2-n})\) ist. Die Aufgabe läßt sich dann auf die Lösung einer Fredholmschen Gleichung zurückführen, deren Kern eine Greensche Funktion ist; ihren Eigenschaften und der Abschätzung ihrer selbst wie ihrer Ableitungen ist naturgemäß der größte Teil der Arbeit gewidmet. Reviewer: Geppert, H., Prof. (Berlin) JFM Section:Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 13. Elliptische Differentialgleichungen. Potentialtheorie. Citations:JFM 62.1297.* × Cite Format Result Cite Review PDF Full Text: EuDML