×

zbMATH — the first resource for mathematics

Nuovo tipo di condizione al contorno e nuovo metodo di trattazione per il problema generalizzato di Dirichlet. (Italian) JFM 64.1163.01
Verf. betrachtet ein Gebiet \(D\), das von einer oder mehreren rektifizierbaren geschlossenen Kurven \[ x=x(s),\quad y=y(s)\quad (0\leqq s\leqq L) \] begrenzt ist. In \(D\) sei außerdem eine Schar rektifizierbarer geschlossener Kurven mit dem Parameter \(t\) (\(0 < t\leqq \delta\)) gegeben: \[ x = x(s, t),\quad y= y(s, t) \] derart, daß \[ \lim_{t\to0} x(s, t) = x(s),\quad \lim_{t\to0} y (s, t) = y (s) \] ist. Dann wird für das Gebiet \(D\) die erste Randwertaufgabe der Gleichung \(\varDelta u= 0\) oder allgemeiner \(\varDelta u= f (x, y)\) dahin verallgemeinert, daß die Funktion \(u\) die Randwerte \(\varphi(s)\) im Mittel annehmen soll, womit gemeint ist, daß \[ \lim_{t\to0}{\int\limits_{0}^{L}} P (s, t) \big[u\big(x(s, t), y (s, t)\big)\varphi(s)\big]^2 ds = 0 \] ist. Dabei bedeutet \(P (s, t)\) eine fest gegebene positive Gewichtsfunktion, und von der Randfunktion \(\varphi(s)\) wird nur verlangt, daß sie quadratisch integrierbar ist. Unter gewissen Voraussetzungen über die Kurvenschar und über die Gewichtsfunktion wird gezeigt, daß das Problem höchstens eine Lösung hat, und sodann unter einigen zusätzlichen Voraussetzungen auch, daß wirklich eine Lösung existiert; dabei gilt \(u\) auch dann als Lösung, wenn die Gleichung \(\varDelta u= f (x, y)\) fast überall in \(D\) erfüllt ist. Die Lösung \(u\) wird gewonnen als Grenzfunktion einer Folge \(u^{(\nu)}\), für die \[ \lim_{r\to\infty} {\iint\limits_{D}}(f -\varDelta u^{(\nu)})^2\, dx\,dy = 0,\quad \lim_{r\to\infty}{\int\limits_{0}^{L}} P (s, 0) (\varphi \varphi^{(\nu)})^2ds = 0 \] ist, wobei unter \(\varphi^{(\nu)}\) die Randwerte von \(u^{(\nu)}\) zu verstehen sind. Die Lösung erweist sich als unabhängig von der speziellen Wahl der Kurvenschar und der Gewichtsfunktion. Im Fall stetiger Randwerte ist sie natürlich die Lösung des gewöhnlichen Randwertproblems.
Weiterhin wird auch das Neumannsche Problem (zweite Randwertaufgabe) in ähnlicher Weise verallgemeinert, und schließlich werden analoge Untersuchungen auch für die allgemeine elliptische Differentialgleichung angestellt.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI
References:
[1] R. Caccioppoli,Sui teoremi d’esistenza di Riemann [Rendiconti della R. Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche di Napoli, Serie 4, Vol. IV (1934), pp. 49–54].
[2] G. Cimmino,Sulle equazioni lineari alle derivate parziali del secondo ordine di tipo ellittico sopra una superficie chiusa [Annali della R. Scuola Normale Superiore di Pisa, Serie II, Vol. VII (1938), pp. 73–96]. · Zbl 0018.02501
[3] M. Picone,Sul metodo delle minime potenze ponderate e sul metodo di Ritz per il calcolo approssimato nei problemi della Fisica Matematica [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. LII (1928), pp. 225–253] · JFM 54.0504.01 · doi:10.1007/BF03016617
[4] G. Cimmino,Su una proprietà di media relativa alle equazioni lineari alle derivate parziali di tipo ellittico del secondo ordine [Rendiconti del Seminario Matematico della R. Università di Roma, serie IV, Vol. 1 (1937), pp. 304–309]. · JFM 63.1038.04
[5] N. Wiener,Discontinuous boundary conditions and the Dirichlet problem [Trans. of the American Math. Society, Vol. 25 (1923), pp. 307–314]. · JFM 49.0340.02 · doi:10.1090/S0002-9947-1923-1501246-8
[6] O. Perron,Eine neue Behandlung der ersten Randwertaufgabe für \(\Delta\) u = 0 [Math. Zeitschrift, Bd. 18 (1925), pp 42–54]. · JFM 49.0340.01 · doi:10.1007/BF01192395
[7] G. C. Evans,Fundamental points of potential theory:Stieltjes potential,Green’stheorem,DiRichlet problem [The Rice Institute Pamphlet, Vol. 7 (1920), p. 252–329]; per altre notizie bibliografiche sui successivi lavori di questo autore, si vedaG. C. Evans,Complements of potential theory II [American Journ. of Math. Vol. LV (1933), p. 29–49].
[8] G. C. Evans andE. R. C. Miles,Potentials of general masses in single and double layers. The relative boundary values problems [American Journ. of Math., Vol. LIII (1931), p. 493–516]. · Zbl 0001.27701 · doi:10.2307/2370800
[9] Degli integrali, per le equazioni generali di tipo ellittico del secondo ordine, analoghi ai potenziali di strato semplice e di doppio strato, sono stati studiati daG. Giraud,Sur certains problèmes non linéaires de Neumann et sur certains problèmes non linéaires mixtes [Ann. de l’École Norm. Sup., s. III, Vol. 49.(1932), p. 1–104, 245–309]. Non mi consta, però, che dei risultati simili a quelli conseguiti nel § 4 deila presente memoria siano stati ottenuti, fondendo il punto di vista diG. C. Evans con quello diG. Giraud; nè ritengo che tale via sarebbe più semplice di quella – completamente diversa – da me seguita. · Zbl 0004.39504 · doi:10.24033/asens.816
[10] Si veda, anche per ulteriori indicazioni bibliografiche, la recentissima memoria diG. Giraud,Généralisation d’un type de problèmes relatifs aux équations aux dérivées partielles du type elliptique [Annali della R. Scuola Normale Superiore di Pisa, Serie II, Vol. VII (1938), pp. 25–71]. Ricorderò pure che inL. Lichtenstein,Randwertaufgaben der Theorie der linearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus [Journ. f. reine u. angewandte Math., Bd. 142 (1913), p. 1–40] è trattato il caso di valori al contorno continui a tratti; l’A. rileva poi inNeuere Entwicklung der Theorie partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus [Enzyklopädie der math. Wissenschaften, Bd. II 3, Heft 8 (1924), p. 1277–1334] che i risuitati di quella sua memoria sussistono anche supponendo soltanto misurabile e limitata la funzione che definisce i valori al contorno. A questo proposito, si confronti ancheM. Gevrey,Su la nature analytique des solutions des équations aux dérivées partielles [Ann. de l’École Norm. Sup., s. III, Vol. 35 (1913), p. 127–190].L. Lichtenstein non specifica peraltro quale sarà il comportamento al contorno della soluzione che si ottiene, ponendo una funzione misurabile e limitata, al posto della funzione che dà i valori al contorno, nella formola risolutiva generale espressa mediante la funzione diGreen. Ad ogni modo, essendo supposti limitati i valori al contorno, si ha un risultato della stessa portata di quelli diN. Wiener eO. Perron per l’equazicne diLaplace, citati in 5) e 6).
[11] Per una esposizione complessiva della teoria in questione, si veda il Capitolo VII del recente trattatoR. Courant undD. Hilbert,Methoden der mathematischen Physik II [Berlin (1937)1.
[12] J. Hadamard,Sur le principe de Dirichlet [Bulletin de la Société Mathématique de France, t. 34 (1906), p. 135]. · JFM 37.0414.03 · doi:10.24033/bsmf.774
[13] W. Stepanoff,Sur la résolution du problème de Dirichlet à l’aide de l’integrale de Poisson [Rec. Math. Moscou, Vol. 32 (1924), p. 111–114].
[14] H. Lebesgue,Sur les cas d’impossibilité du problème de Dirichlet [C. R. de la Soc. Math. de France, t. 41 (1912), p. 17].
[15] N. Wiener,Certain notions in potential theory [Journ. Math. Physics Massasch. Instit., S. II, Vol. 3, (1924), p. 24–51],The Dirichlet problem [ibidem, p. 127–146].
[16] Un’esposizione delle teorie di questo autore si trova nel volumeG. Ascoli, P. Burgatti, G. Giraud,Equazioni alle derivate parziali dei tipi ellittico e parabolico [Firenze (1936)], al quale rinvio anche per altre notizie bibliografiche. Pure ricco di indicazioni bibliografiche è il fascicolo diG. Bouligand,Fonctions harmoniques. Principes de Picard et de Dirichlet [Paris (1926)]. Infine, sebbene si tratti di ricerche meno da vicino connesse con la presente, ricorderò che allo studio dei problemi al contorno per le equazioni a derivate parziali di tipo ellittico sono stati arrecati notevoli contributi, in questi ultimi anni, anche da molti altri autori, fra i quali citeròJ. Schauder, C. J. de la Vallée Poussin, F. Vasilesco, M. Brelot, H. Lebesgue, C. Carathéodory.
[17] È questo il caso considerato daW. Stepanoff, loc. cit. in *3), dove però si tratta di convcrgcnza in media di ordine uno.
[18] Supponendo verificata questa condizione, la relazione di limiie (4) sarà equivalente a Preferiamo, tuttavia, lasciarla nella forma (4), sia perché questa è più conveniente per le dimostrazioni che seguono, sia perchè essa si presta ad alcune possibili estensioni.
[19] Cfr. l’osservazione della nota 19).
[20] Cfr.G. Cimmino,Formole di maggiorazione nel problema di Dirichlet per le funzioni armoniche [Rendiconti del Seminario Matematico di Padova, Vol, 3 (1932), pp. 44–66]. · Zbl 0005.01604
[21] Alla disuguaglianza (17) se ne potrebbe sostituire un’altra meno restrittiva, come faremo in seguito, nel caso dell’equazione generale (cfr. il teorema di convergenza del n18); nel caso attuale, però, ciò non ha molta importanza, e perciò abbiamo preferito lasciare un’ipotesi lievemente sovrabbondante, visto che ciò porta qualche semplificazione nella dimostrazione.
[22] Per questa relazione di limite, si può fare una osservazione simile a quella della nota 19).
[23] Si noti che, in tutte le dimostrazioni del testo, questo è il solo punto, in cui si invochi l’ipotesic) del n4.
[24] L. Lichtenstein, Überdas Poissonsche Integral und über die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung der logarithmischen Potentials [Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 141 (1912), p. 12–42]. · JFM 43.0887.01
[25] Cfr. per es.L. Lichtenstein, loc. cit. in 10), p. 16.
[26] H. Lebesgue,Sur le problème de Dirichlet [Comptes Rendus de l’Acad. des Sciences de Paris, Vol. 154 (1912), p. 335],Conditions de régularité, conditions d’irrégularité, conditions d’impossibilité dans le problème de Dirichlet [Ibidem, Vol. 178 (1924), p. 352–354]. L’ipotesi non è essenziale, giacchè è noto che la costruzione delle “ barriere ” è sempre possibile per dominii del tipo da noi considerato: si veda, per esempio,O. D. Kellogg,Foundations of potential theory [Berlin (1929)], p. 367–368.
[27] Qui e in seguito si sottintende “ a prescindere eventualmente dai punti di un insieme di misura nulla ”.
[28] Si potrebbe fare a meno di questa ipotesi, servendosi di un’idea diM. Picone,Sul problema di Neumann nel piano [Bollettino Unione Matematica Italiana, Vol. 8 (1929), pp. 121–129].
[29] L’esistenza delle derivate parziali div suFD è assicurata dalle ipotesi di regolarità che abbiamo fatte (n15) sul contorno; cfr.L. Lichtenstein, p. 1285 dell’art. nell’Encyklopädie citato in 10).
[30] Loc. cit. in 3). Cfr. la nota 32).
[31] Loc. cit. in 2), n4.
[32] Loc. cit. in 4), n2.
[33] Loc. cit. in 3), n6. · JFM 54.0504.01 · doi:10.1007/BF03016617
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.