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Problème plan de la dérivée oblique dans la théorie du potentiel. (French) JFM 64.1163.03

J. École polytechn., Paris, 1938; 35-158, 177-226 (1938).
Folgende Fragestellung wird behandelt: Eine harmonische Funktion \(V\) zu bestimmen, deren Ableitung \(\dfrac{\partial V}{\partial \sigma}\) in vorgeschriebener Richtung \(\varphi\) auf dem Rande eines Gebietes vorgeschriebene Werte annimmt. Betrachtet wird im wesentlichen das ebene Problem. Die Randkurve des einfach oder endlichfach zusammenhängenden Gebietes ist stückweise glatt, die vorgeschriebene Richtung \(\varphi\) und die Werte der Ableitung sind Hölderstetige Funktionen der Bogenlänge \(s\). Das homogene Problem wird folgendermaßen angesetzt. Es soll \(\dfrac{\partial V}{\partial \sigma}= V_x \cos\varphi + V_y \sin\varphi= 0\) sein längs des Randes. Man bestimme zwei im Gebiet konjugierte harmonische Funktionen \(A\), \(B\), deren Quotient auf dem Rande vorgeschriebene Werte annimmt, was im wesentlichen auf ein Dirichletsches Problem hinausläuft (im Kap. I für einfach zusammenhängende, in Kap. VI § 59 für mehrfach zusammenhängende Gebiete diskutiert, vgl. auch die Fortsetzungen der Arbeit (J. École polytechn., Paris, 1939; 55-84, 85-173; F. d. M. 65). Setzt man speziell \(-\dfrac BA = \operatorname{tg}\varphi\), dann stellt das Integral \(\int A\,dy + B\, dx\) im Gebiet eine harmonische Funktion mit den Ableitungen \(B= V_x\), \(A = V_y\) dar, ist also eine Lösung. Im inhomogenen Falle bestimmt man die konjugierten Hilfsfunktionen \(A\), \(B\) so, daß auf dem Rande \(BA^{-1}=\operatorname{tg}\varphi\) gilt. Dann ist \(\dfrac{\partial V}{\partial \sigma}=\dfrac{AV_x+BV_y}{\sqrt{A^2+B^2}}\) gegeben, desgleichen kann der Ausdruck \(AV_x + BV_y= P^*(s)\) als gegebene Funktion, angesehen werden. Da nun \(A\) und \(B\) konjugiert harmonisch sind, so ist mit harmonischem \(V\) auch \(AV_x + BV_y = P (x, y)\) harmonisch. Damit ist die Aufgabe auf das Dirichletsche Problem zurückgeführt, die harmonische Funktion \(P\) mit den Randwerten \(P^*\) zu bestimmen. \(V\) bestimmt sich dann, wenn noch \(Q\) die zu \(P\) konjugierte Funktion ist, als Realteil von \(\int\frac{P+iQ}{A+iB}\, dz\). Beim einfach zusammenhängenden Gebiete ergeben sich dann folgende Resultate: Der vorgeschriebene Winkel \(\varphi\) nehme bei voller Umkreisung des Gebietes um \(n\pi\) zu. Für \(n = 1\) gibt es immer eine und nur eine Lösung. Für \(n > 1\) existiert eine Lösung (und zwar höchstens eine) nur dann, wenn die Randwerte gewissen Bedingungen genügen. Für \(n < 1\) existieren immer Lösungen. Die allgemeinste Lösung enthält \(1 - n\) beliebige Konstanten. Bei mehrfach zusammenhängenden Bereichen ist die Methode prinzipiell die gleiche, in der Durchführung jedoch komplizierter (Kap. VI). Für den Fall des Kreisringes ist eine Tafel für die Resultate aufgestellt (S. 129). So gibt es z.B., wenn \(n_e>n_i\) (die Umkreisungszahlen für äußere und innere Kontur), im homogenen Falle nur die triviale (konstante) Lösung, im inhomogenen Falle eine einzige Lösung, jedoch nur dann, wenn \(n_e - n_i + 1\) gewisse Bedingungen erfüllt. Weiterhin werden Unstetigkeiten des Winkels \(\varphi\) sowie der Randwerte in einzelnen Punkten betrachtet. In Kap. VII wird das räumliche Problem gestreift. Die Übertragung der zweidimensionalen Methode scheitert insofern, als nur spezielle Fälle von Randwertvorgaben behandelt werden können. Es wird weiterhin die Verallgemeinerung der charakteristischen Zahl \(n\) der Ebene mittels Einführung eines gewissen räumlichen Winkels gegeben. In einem Anhang werden Ergänzungen gebracht, die insbesondere Schlüsse über das Verhalten der konjugierten Funktion auf dem Rande gestatten.