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Generalization of the inequality of Markoff. (English) JFM 64.1193.02

Eine stochastische Veränderliche \(X\) heißt nichtnegativ, wenn \(\mathfrak W(X < 0)=0\) ist.
I. Bezeichnen \(M_{i_1}\),…, \(M_{i_j}\) die absoluten Momente der durch die Indizes angegebenen Ordnungen der stochastischen Veränderlichen \(X\) um den Punkt \(x_0\), so ist \(\operatorname{lim\,inf}\mathfrak W(- d < Y - x_0 < d) = \operatorname{lim\,inf}\mathfrak W(Z < d)\), wo die Wahrscheinlichkeit linker Hand gebildet ist für alle stochastischen Veränderlichen \(Y\), deren absolute Momente der Ordnung \(i_\nu\) um den Punkt \(x_0\) gleich \(M_{i_\nu}\) (\(\nu = 1\),…, \(j\)) sind, während die \(Z\) nichtnegative stochastische Veränderliche sind, deren \(i_{\nu}\)-tes Moment um den Nullpunkt gleich \(M_{i_\nu}\) ist.
II. Sei \(X\) eine nichtnegative stochastische Veränderliche mit den absoluten Momenten \(M_{i_1}\),…, \(M_{i_j}\) um den Nullpunkt. \(\varOmega(k,t)\) sei die Menge aller \(k\)-wertigen arithmetischen stochastischen Veränderlichen \(Y\), für die \(\mathfrak W(- t\leqq Y\leqq t) = 1\) gilt, und die die gleichen Momente \(M_{i_\nu}\) besitzen; \(\varOmega(k,t)\) sei nicht leer, was bei genügend großem \(k\) und \(t\) sicher der Fall ist. Es sei \[ a(d, k, t) = \operatorname{lim\,inf}\mathfrak W(Y < d). \] Dann existiert in \(\varOmega(k,t)\) eine stochastische Veränderliche \(Z\), für die \(\mathfrak W(Z < d)= a (d, k,t)\) ist. Im Falle \(0 < a(d, k, t) < 1\) gibt es für ein solches \(Z\) höchstens \(j - 1\) verschiedene positive Werte \(x_1\),…, \(x_{j-1}\) mit \(x_i\neq d\) und \(x_i\neq t\), derart daß die Wahrscheinlichkeit des Punktes \(x_i\) positiv ist.
III. Ein analoger Satz gilt bei Aufhebung der Beschränkung auf \(k\)-wertige arithmetische Verteilungen.
Theorem: \(M_r\) und \(M_s\) mit \(r < s\) seien das \(r\)-te bzw. \(s\)-te absolute Moment einer stochastischen Veränderlichen \(X\) um den Punkt \(x_0\). Es sei \[ a_d = \operatorname{lim\,inf}\mathfrak W(- d < Y - x_0 < d), \] wenn \(Y\) eine stochastische Veränderliche mit diesen beiden Momenten ist.
a) Im Falle \(\dfrac{M_r}{d^r}\leqq\dfrac{M_s}{d^s}\) ist \[ a_d= 1 -\frac{M_r}{d^r} \text{ für } \frac{M_r}{d^r}\leqq1 \text{ und } a_d=0 \text{ für } \frac{M_r}{d^r}> 1. \]
b) Im Falle \(\dfrac{M_r}{d^r}>\dfrac{M_s}{d^s}\) ist \[ a_d=1-\frac{M_s-M_r\delta_0^{s-r}}{d^r(d^{s-r}-\delta_0^{s-r})}, \] wenn \(\delta_0\) die eindeutig bestimmte von d verschiedene positive Wurzel der Gleichung \[ M_rd^s - M_sd^r + \delta^r(M_s - d^s) + \delta^s(d^r - M_r) = 0 \] bedeutet.
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