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Transformations homographiques planes conservant la droite de l’infini et un point à distance finie. (French) JFM 64.1291.01

Die Arbeit geht aus von einem Satze der Elementargeometrie: Über den Seiten eines Dreieckes \(A\), \(B\), \(C\) werden ähnliche gleichschenklige Dreiecke mit dem gemeinsamen Basiswinkel \(\varphi\) errichtet, deren Ecken \(A_\varphi\), \(B_\varphi\), \(C_\varphi\) ein neues Dreieck bilden; es gilt: 1) Beide Dreiecke haben denselben Schwerpunkt \(G\), 2) die Geraden \(AA_\varphi\), \(BB_\varphi\), \(CC_\varphi\) treffen sich in einem Punkte \(M_\varphi\), der 3) – wenn \(\varphi\) variiert – eine gleichseitige Hyperbel beschreibt, die \(A\), \(B\), \(C\), \(G\), und den Höhenschnittpunkt \(H\) enthält (Kiepertsche Hyperbel). Es interessiert auch die Aufgabe, das Dreieck \(ABC\) zu ermitteln, wenn das Dreieck \(A_\varphi B_\varphi C_\varphi\), und der Winkel \(\varphi\) gegeben sind.
Für diese Aufgabe ergibt sich im Laufe der Arbeit eine sehr elegante Lösung. Die Beweise der aufgeführten Eigenschaften der beiden Dreiecke aber kann man durch eine eigenartige Vektorbezeichnung in sehr knapper Weise erbringen, die (wie schon von anderer Seite bemerkt wurde) im wesentlichen schon von Grassmann stammt.
Es ist das Bestreben der Arbeit, die angeführte Figur der Dreiecksgeometrie (“welche nach einem bekannten Grundsatze ebenso wie Champagner eine hervorragende Sache ist, wenigstens in mäßigen Dosen”) aus dem Rahmen der Elementargeometrie herauszuheben und sie im höheren Lichte der Gruppentheorie zu beleuchten. Hierzu werden nun die “Transformationen \(\varphi\)” ins Auge gefaßt, welche das Dreieck \(ABC\) in die Dreiecke \(A_\varphi B_\varphi C_\varphi\) überführen. Sie bilden für sich noch keine Gruppe, wohl aber sind sie paarweise vertauschbar, und man stellt unter anderem fest, daß die Transformationen \(\varphi\) und \(-\varphi\), hintereinander ausgeführt, eine zentrische Ähnlichkeit mit \(G\) als Pol und \(\dfrac{1-3\operatorname{tg}^2\varphi}4\) als Modul ergeben, ferner daß \(\varphi\) und \(\dfrac \pi 2 + \varphi\) die Transformation \(\dfrac \pi 2- 2\varphi\) und daß \(- \dfrac \pi 4- \dfrac \varphi 2\) und \(\dfrac \pi 4- \dfrac \varphi 2\) zusammen die Transformation \(\varphi\) selbst ergeben.
Nach einer Reihe von Bemerkungen zur Elementargeometrie der in Frage stehenden Figur wird nun auf die “Transformationen (\(\varphi\psi\))” eingegangen, die durch Hintereinanderausführung von \(\varphi\) und \(\psi\) entstehen. Sie werden durch geeignete Hilfsparameter \(h\), \(k\) beschrieben, die durch die Gleichungen definiert sind: \[ h = \frac 12(1 + \operatorname{tg} \varphi \operatorname{tg} \psi), \quad k = - \frac 12(\operatorname{tg}\varphi + \operatorname{tg} \psi), \] und werden darum auch mit \((h, k)\) bezeichnet. Es wird gezeigt, daß diese Transformationen \((h, k)\) eine kommutative Gruppe bilden. Man kann zeigen, daß folgende Zerspaltung von \((h, k)\) in “Elementaroperationen” möglich ist: \[ (h,k)=(1-2h,0) \left[0, \frac k{1-3h}\right], \] deren erster Faktor eine zentrische Ähnlichkeit mit \(G\) als Pol vorstellt, während der zweite eine Transformation \(\varphi\) obiger Art mit \(\operatorname{tg}\varphi= \dfrac k{1-3h}\) ist. Daraus werden etliche elementare Schlüsse gezogen, z. B. der, daß die Transformationen \(\dfrac \pi 6\) und \(-\dfrac \pi 6\) jedes Dreieck in ein gleichseitiges verwandeln. Man sieht auch leicht, wie man vom Dreiecke \((ABC)_{h,k}\) zum Dreiecke \(ABC\) zurückkehren kann.
Zum Schlüsse wird nun die zweigliedrige Gruppe der Affinitäten ausführlich betrachtet, welche das Dreieck \(ABC\) in die Dreiecke \(A_{h,k}B_{h\,k}C_{h,k}\) überfuhren. Da der gemeinsame Schwerpunkt \(G\) festbleibt, handelt es sich um Zentroaffinitäten, die, wie gezeigt wird, zwei rechtwinkelige Geraden durch \(G\) festlassen, nämlich die durch \(G\) gezogenen Parallelen zu den Asymptoten der Kiepertschen Hyperbel des Dreiecks \(ABC\), die man auch als seine Steinerschen Achsen bezeichnet.
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Full Text: DOI Numdam EuDML