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Courbes auto-inverses isogonales par rapport à un triangle. (French) JFM 64.1318.01
Eine bezüglich eines Dreiecks autoinvers isogonale Kurve \(p\)-ter Ordnung hat die Ecken des Dreiecks zu Punkten \(q\)-ter, \(r\)-ter, \(s\)-ter Ordnung, so daß \(q + r + s = p\) ist. Beschreibt der Mittelpunkt eines veränderlichen, dem Dreieck einbeschriebenen Kegelschnitts eine Kurve \(Q\) \(n\)-ter Ordnung, so ist der Ort der vier Brennpunkte des Kegelschnitts eine autoinvers isogonale Kurve \(\varTheta\) \(3n\)-ter Ordnung. Diese Kurve hat die Kreispunkte und die Ecken des Dreiecks zu Punkten \(n\)-ter Ordnung und zu Asymptotenrichtungen diejenigen der Kurve \(Q\). Sie trifft den Umkreis des Dreiecks in \(6n\) Punkten, nämlich den Kreispunkten und den Ecken des Dreiecks, die als \(5n\) Punkte zählen, und den \(n\) Punkten des Kreises, die den unendlich fernen Punkten von \(Q\) invers isogonal sind. Ist \(\varPhi\) eine beliebige autoinvers isogonale Kurve \(p\)-ter Ordnung und \(\varTheta\) der Ort der Brennpunkte eines veränderlichen ein beschriebenen Kegelschnitts, dessen Mittelpunkt eine Kurve \(Q\) \(n\)-ter Ordnung durchläuft, so ist \(p\leqq 3n\). \(p = 3n\) bedeutet, daß \(\varPhi\) mit \(\varTheta\) zusammenfällt. Ist \(p<3n\), so zerfällt \(\varTheta\) in \(\varPhi\) und eine Kurve \(\varGamma\) der Ordnung \(3n-p\). Hat \(Q\) einen der Mittelpunkte der Berührungskreise des Dreiecks zum \(p\)-fachen Punkt, so hat \(\varTheta\) ihn zum \(2\)p-fachen Punkt, und die Tangenten an \(\varTheta\) in diesem Punkt zerfallen in Paare von senkrechten Tangenten. Jede Kurve \(\varPhi\), die die Kreispunkte zu \(p\)-fachen Punkten hat, hat \(p\) doppelte Brennpunkte auf dem Umkreis des Dreiecks. Jede Kurve \(3n\)-ter Ordnung \(\varTheta\) hat zu doppelten Brennpunkten die \(n\) Schnittpunkte von \(\varTheta\) mit dem Umkreis, die von den Ecken und den Kreispunkten verschieden sind. Diese Sätze werden angewendet auf autoinvers isogonale Geraden, Kegelschnitte und Kubiken.
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Full Text: DOI Numdam EuDML