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Surfaces admettant plusieurs réseaux de translation. Réseaux coniques. (French) JFM 64.1337.01

Verf. leitet insbesondere Ergebnisse von S. Lie (vgl. die zusammenfassende Arbeit: Die Theorie der Translationsflächen und das Abelsche Theorem. Ber. Sachs. Ges. Wiss. Leipzig, Math. phys. Kl. 48 (1891) 141-198; F. d. M. 27, 326 (JFM 27.0326.*)-327) aufs neue und einfacher, als im bisherigen Schrifttum bekannt ist, ab. Sind \(u\), \(v\), \(\bar u\), \(\bar v\) die Parameter der Translationsnetze, so genügen die Koordinaten \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) den Differentialgleichungen: \[ z_{uv}=0,\quad z_{\overline{uv}}=0 \tag{1} \] dieses System (1) muß also \(\infty^4\) Integralflächen besitzen. Indem Verf. (1) in der Form ansetzt: \[ s = 0, \quad Ar + Bt + Cp + Dq = 0, \] und die Bedingungen dafür aufstellt, daß die Gleichung \[ Ar + \lambda s + Bt + Cp + Dq = 0 \] die Form \(s=0\) annimmt, erhält er für \(\lambda\) ein lineares System partieller Differentialgleichungen erster Ordnung; je nachdem die Integrabilitätsbedingung unbeschränkt oder beschränkt erfüllt ist, ergeben sich die Translationsflächen mit \(\infty^1\) bzw. mit zwei Translationsnetzen. Die Netzkurven werden eingehend behandelt; im ersten Falle werden insbesondere die auftretenden ebenen Kurvennetze ausführlich dargestellt; im zweiten Falle werden die Flächen nach zwei verschiedenen Methoden bestimmt. Auch wird der Zusammenhang mit dem Abelschen Theorem dargetan. Im letzten Paragraphen nimmt Verf. das allgemeinere Problem der Bestimmung von Flächen mit mehreren konjugierten Kegelliniennetzen in Angriff, das in ähnlicher Weise auf zwei nacheinander folgende Integrationen von Differentialgleichungen zurückgeführt wird, und für dessen Lösungenanzahl sich 0, 1, 2, 3, \(\infty^1\) ergibt; weitere Ergebnisse sind dem Verf. nicht gelungen. Er begnügt sich, zum Schluß auf J. Blank (Commun. Inst. Sci. math. méc. Univ. Kharkoff, Soc. math. Kharkoff (4) 11 (1935), 55-68; F. d. M. \(61_{\text I}\), 751) hinzuweisen, der das Problem für einen Sonderfall gelöst hat. Zur Frage der Verallgemeinerung der Translationsflächen vgl. auch F. Engel, Zur Theorie der Translationsflächen (Rend. Circ. mat. Palermo 59 (1935), 165-184; F. d. M. \(61_{\text{II}}\), 1420-1421).

Citations:

JFM 27.0326.*
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Full Text: DOI Numdam EuDML