Transformations sphériques réelles. (French) JFM 64.1355.02

Saint-Guilhem, R.

Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse Sci. math. Sci. physiques (4) 2, 59-143 (1938).

In Fortsetzung einer entsprechenden Untersuchung der reellen Kreisverwandtschaften der Ebene (Enseign. math. 36 (1937), 145-179; F. d. M. 63\(_{\text{I}}\), 694) wird eine ausführliche Untersuchung und Klassifikation der konformen Transformationen (“sphärischen” Transformationen, Kugeltransformationen) des reellen Raumes von elementargeometrischem Standpunkte aus gegeben. Komplexes wird nicht betrachtet, und als bekannt werden nur die klassischen Eigenschaften der Ähnlichkeiten und der Inversion vorausgesetzt.
Ausgehend von einer Zusammenstellung der bekannten Zerlegungen der Bewegungen und Umlegungen, der direkten und indirekten Ähnlichkeiten des Raumes in Elementartransformationen (Drehung, Schiebung, Streckung, Spiegelung an einer Ebene) wird die sphärische Transformation definiert und gezeigt, daß eine überall eineindeutige sphärische Transformation notwendig eine Ähnlichkeit ist. Es folgt daraus, daß jede von einer Ähnlichkeit verschiedene Kugeltransformation, je nachdem ob sie eine indirekte oder direkte ist, als Produkt einer Inversion und einer Bewegung oder einer Umlegung darstellbar ist.
Auf dieser elementaren Basis gelingt es zunächst die direkten Kugeltransformationen in konform-invarianter Weise durch Betrachtung der bei ihnen fest bleibenden Kugeln (die die obengenannte Inversionskugel entweder orthogonal oder diametral schneiden müssen) in acht Typen (vier Haupttypen I-IV, und vier Sonderfälle davon V-VIII) zu gliedern. Die Haupttypen entstehen der Reihe nach als Produkte einer Inversion mit einer Umlegung, deren Zentrum außerhalb oder auf oder innerhalb der Inversionskugel liegt, oder die schließlich eine bloße Spiegelung an einer Ebene ist. Die zugehörigen Sondertypen entstehen daraus, wenn die Hauptebene der Umlegung die Inversionskugel orthogonal schneidet.
Aus den Typen IV und VIII werden nun zuerst die wichtigen Musterfälle der konformen Drehung (“rotation anallagmatique”) und der konformen Umwendung (“transposition”) hervorgehoben, die zusammen mit den Drehungen und Schiebungen und konformen Verallgemeinerungen als “einfache” Kugeltranformationen bezeichnet werden. Man kann nämlich das Produkt einer Inversion und einer Spiegelung an einer Ebene betrachten. Diese kann die Inversionskugel schneiden, berühren oder nicht schneiden. Der erste Fall liefert die konforme Drehung. Der doppelte Schnittwinkel von Kugel und Ebene ist ihre konforme Invariante, ihr “Drehwinkel”, der Schnittkreis ihre “Achse”. Ist insonderlich der Schnittwinkel orthogonal, so entsteht die konforme Umwendung, eine direkte involutorische Kugeltransformation. Bei stetiger konformer Drehung wandern die Raumpunkte auf Kreisen, die zum Achsenkreis “konjugiert” genannt werden. (Irgend zwei zu einem Kreise orthogonale Kugeln schneiden sich nach einem dazu konjugierten Kreise). Von zwei konjugierten Kreisen ist jeder Bahnkurve für die konforme Drehung, welche den anderen als Achse besitzt.
Nun werden die Kugeltransformationen des I. Typs, insonderlich auch Typ V untersucht. Sie sind konforme Verwandte der Ähnlichkeiten, besitzen zwei Doppelpunkte und zwei charakteristische Invarianten, nämlich Modul und Winkel der Ähnlichkeit. Bei ihnen bleiben eine Kugel, ein Kreis und eine einfache Schar von Dupinschen Zykliden fest. Für den Winkel \(\pi\) ergibt sich Typ V, wo überdies noch ein Kugelbüschel invariant ist.
Der II. (insonderlich VI.) Typ ist konform äquivalent den Bewegungen. Es gibt eine Invariante, einen Doppelpunkt; ein Kreis und eine Schar von Zykliden bleiben fest, im Falle VI. außerdem noch ein Kugelbüschel.
Die Transformationen des Typs III (insonderlich VII) können nie konforme Transformierte von Ähnlichkeiten sein. Sie besitzen weder invariante Punkte noch feste Kugeln, dafür aber zwei feste konjugierte Kreise, und können aufgefaßt werden als Produkte von konformen Drehungen um diese festen konjugierten Kreise. Die beiden Drehungswinkel sind charakteristische Invarianten. Eine Schar Zykliden bleibt fest. [Ref.: man kennt sie besonders aus der konformen Deutung der elliptischen Raumgeometrie, deren Bewegungen sie repräsentieren.] Der Fall gleicher Drehwinkel liefert die konformen Schiebungen (“transformation paratactique”). [Ref.: die Cliffordschen Schiebungen des elliptischen Raumes konformer Deutung.] Es gibt eine Kongruenz von festen Bahnkreisen, und alle diese “parataktischen” Kongruenzen sind untereinander ähnlich. Es werden etliche elementare Eigenschaften dieser Kongruenzen, darunter der Satz von Villarceau über die schiefen Kreisschnitte der Dupinschen Ringzyklen hergeleitet. Irgend zwei parataktische Kongruenzen derselben Grundkugel und verschiedener Arten haben ein Paar konjugierter Kreise gemeinsam, und ihre konformen Schiebungen sind vertauschbar, ihr Produkt gibt die allgemeinste Kugeltransformation des III. Typs und umgekehrt. Zwei Kongruenzen derselben Art schneiden sich überall unter festem Winkel. Konforme Schiebungen derselben Art bilden eine Gruppe, die den Kugeldrehungen isomorph ist. Sphärische Abbildung der Kreise einer parataktischen Kongruenz, wobei einer beliebigen kugelverwandten Kongruenz auf der Bildkugel ein kreisverwandtes Bild entspricht. Das Hauptbild der parataktischen Kongruenz und seine wichtigsten Eigenschaften. Parataxiewinkel zweier Kreise und sein sphärisches Bild. Einige Eigenschaften parataktischer Kreise, insbesondere die Existenz von unendlichvielen gemeinsamen parataktischen Orthogonalkreisen. – Die spürbar aus der elliptischen Geometrie übernommenen Erkenntnisse werden als solche nicht erwähnt oder herausgestellt. Manche Sätze werden mit eigenen Namen belegt, auch wenn sie nur triviale Übertragungen solcher sind, die im Rahmen der elliptischen Geometrie konformer Deutung trivial sind. Dagegen fehlen Zitate der ideellen Entdecker, z. B. Clifford, Klein, Study usw.
Der Typ VII ergibt sich daraus, wenn einer der Winkel der beiden konformen Drehungen \(\pi\) ist. Sind beide Drehwinkel gleich \(\pi\), so hat man die negative Inversion vor sich, welche neben der konformen Umwendung die einzige reelle direkte involutorische Kugeltransformation darstellt.
Nun werden die indirekten Kugeltransformationen in ähnlicher Weise behandelt. Im allgemeinen besitzen sie eine invariante Kugel und daher mindestens zwei Fixpunkte. Sie lassen sich durch geeignete Kugeltransformationen in Ähnlichkeiten überführen, deren Modul und Winkel ihre einzigen Invarianten gegen konforme Transformationen sind. Die invarianten Figuren sind dieselben wie in den direkten Typen I und II.
Die verschiedenen Typen indirekter Kugeltransformationen werden in kurzer Übersicht dargestellt, wobei als Ausgangspunkt die Zerlegung in eine Inversion und eine Bewegung dient. Die einzigen involutorischen darunter sind die Inversion (mit positiver Potenz) und jene Transformation, die sich darstellen läßt als Produkt von drei Inversionen an paarweise orthogonalen Kugeln, also die konforme Transformierte der Spiegelung an einem Punkte.
Nach einigen Bemerkungen über kontinuierliche Gruppen konformer Transformationen werden zum Schlüsse noch etliche Zerlegungsmöglichkeiten der Kugeltransformationen in Inversionen bzw. sogenannte “einfache” Transformationen (s. o.) behandelt. Z. B. ist klar, daß sich jede direkte Transformation zerlegen läßt in vier Inversionen, wobei die beiden ersten Inversionskugeln und ebenso die beiden letzten zueinander orthogonal sind. Ebenso läßt sich jede Kugeltransformation in das kommutative Produkt zweier der genannten einfachen Transformationen zerlegen.
Eine Tabelle und eine ausgeführte Konstruktion der invarianten Figur für den Typ I und II einer direkten Kugeltransformation sind angefügt.
Eine Liste auch der deutschen Literatur wäre erwünscht gewesen.

Reviewer: Strubecker, K., Prof. (Wien)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. D. Differentialgeometrie in affinen und projektiven Räumen.