Familles de surfaces isoparamétriques dans les espaces à courbure constante. (French) JFM 64.1361.02

Cartan, É.

Ann. Mat. pura appl., Bologna, (4) 17, 177-191 (1938).

Eine Hyperflächenschar \(f =\) const im \(n\)-dimensionalen Riemannschen Raum konstanter Krümmung \(C\) heißt isoparametrisch – wie jede zugehörige Hyperfläche –, wenn die beiden Differentialparameter \(\varDelta_1 f\) und \(\varDelta_2 f\) auf jeder Scharfläche konstant sind. Die erste Bedingung besagt, daß die Schar aus Parallelflächen besteht, die zweite, daß sämtliche Hauptkrümmungsradien (Hkr.) der Hyperfläche konstant sind. Eine Hyperfläche mit dieser Eigenschaft bestimmt auch immer eindeutig eine isoparametrische Schar. Verf. bestimmt weiter sämtliche isoparametrischen Hyperflächen, auf denen entweder alle Hkr. gleich sind oder es unter ihnen nur zwei verschiedene gibt (bei negativer Krümmung \(C\) können nur diese Fälle vorkommen). Wird der Raum dargestellt durch \[ x_{n+1}^2 \pm \left\{ x_1^2+x_2^2+ \cdots +x_n^2 \right\}=1 \] mit \[ ds^2=dx_1^2+dx_2^2+ \cdots +dx_n^2 \pm dx_{n+1}^2, \] so hat man bei zwei verschiedenen Hkr. bei geeigneter Koordinatenwahl die Äquidistanzhyperflächen zu den linearen Räumen \(x_1=x_2=\cdots=x_p=0\) \((1 < p < n - 1)\); sind alle Hkr. einander gleich, was nur für \(C < 0\) vorkommen kann, so gilt auch entsprechendes für \(p = 1\) oder \(p = n - 1\), und außerdem hat man für \(\text{Hkr.}^2 = -C\) die Grenzkugeln (Horisphären).
Der Fall positiver Krümmung ist noch nicht vollständig erledigt, für \(n = 4\) gibt es bei drei verschiedenen Hkr. noch die Äquidistanzhyperflächen zu einer von O. Bor\(\overset{ \circ} {\text{u}}\)vka angegebenen Fläche, auf der alle Kurven dieselbe Normalkrümmung besitzen. Stets – auch in den nicht erledigten Fällen – läßt sich bei vorgegebenen Multiplizitäten der Hkr. ihr Wertverteilungsgesetz angeben.

Reviewer: Bol, G., Dr. (Heuweiler bei Freiburg)

JFM Section:

Zweiter Halbband. Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. E. Differentialgeometrie in allgemeinen Räumen. Feldtheorie.

References:

[1]	« Rendic. Lincei », VI s., 27, 1938, p. 203-207.
[2]	« Comptes rendus », 187, pp. 334-336, 1928.