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The significance of the system of subgroups for the structure of the group. (English) JFM 65.0060.01
Eine Abbildung \(f\) der Untergruppen einer Gruppe \(G\) auf die Untergruppen einer Gruppe \(G'\) heißt Untergruppen- oder Teilerisomorphismus, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
(a)
\( S^f\) ist eine Untergruppe von \(G'\) für jede Untergruppe \(S\) von \(G\).
(b)
Zu jeder Untergruppe \(S'\) von \(G'\) gibt es eine Untergruppe \(S\) von \(G\), so daß \(S^f =S'\).
(c)
Dann und nur dann ist \(S\subseteq T\), wenn \(S^f \subseteq T^f\).
Der Teilerisomorphismus \(f\) heißt indexerhaltend, wenn \([T : S] = [T^f : S^f]\) für alle Untergruppen \(S\) aller zyklischen Untergruppen \(T\) von \(G\). \(f\) heißt normal, wenn \(S\) genau dann Normalteiler von \(G\) ist, wenn \(S'\) Normalteiler von \(G'\) ist.
Die vorliegende Arbeit enthält Untersuchungen zu der Frage, wann zwei teilerisomorphe Gruppen schlechthin isomorph sind. Die Ergebnisse sind:
Der Teilerisomorphismus \(f\) von \(G\) wird durch einen gewöhnlichen Isomorphismus von \(G\) induziert, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
(1)
\(G\) ist eine Hamiltonsche Gruppe, und alle Elemente haben gerade Ordnung.
(2)
\(G\) ist abelsch und enthält wenigstens zwei unabhängige Elemente unendlicher Ordnung.
(3)
\(G\) ist abelsch, enthält keine Elemente unendlicher Ordnung, enthält Elemente der Ordnung \(p^2\), wenn es Elemente der Primzahlordnung \(p\) enthält, und es enthält mindestens drei unabhängige Elemente der Ordnung \(n\), wenn es überhaupt Elemente der Ordnung \(n\) enthält.
(4)
\(G\) ist abelsch, alle vom Einheitselement verschiedenen Elemente haben die gleiche Ordnung \(p\), \(G\) enthält wenigstens \(p^3\) Elemente, und alle vom Einheitselement verschiedenen Elemente von \(G^f\) haben die gleiche Ordnung.
Weiter ergibt sich: Der Teilerisomorphismus \(f\) von \(G\) auf \(H\) ist ein gewöhnlicher Isomorphismus, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
(5)
\(G\) und \(H\) sind abelsch, \(G\) enthält keine Elemente unendlicher Ordnung, und die Anzahl der Elemente der Ordnung \(p\) von \(G\) ist nicht gleich \(p\).
(6)
\(G\) und \(H\) sind abelsch, \(G\) enthält Elemente unendlicher Ordnung, und der Teilerisomorphismus \(f\) ist indexerhaltend.
(7)
\(G\) ist abelsch, enthält keine Elemente unendlicher Ordnung, und der Teilerisomorphismus \(f\) ist indexerhaltend und normal.
Durch Beispiele wird gezeigt, daß diese Bedingungen in dem Sinne scharf sind, daß aus keiner eine Teilaussage fortgelassen werden kann.

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