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Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen. (German) JFM 65.0061.02
Diese inhaltreiche und in der Darstellung sehr klare Arbeit ist dem Studium der nachinvarianten Untergruppen gewidmet. Diese werden folgendermaßen definiert: Die Untergruppe \(\mathfrak A\) der Gruppe \(\mathfrak G\) heißt nachinvariant in \( \mathfrak G\) (in Zeichen: \(\mathfrak A \triangleleft\triangleleft\,\,\mathfrak G\)), wenn \(\mathfrak A\) in irgendeiner mit \(\mathfrak G\) beginnenden Normalkette vorkommt, d. h. in einer mit \(\mathfrak G\) beginnenden Folge von Untergruppen, in der jedes Glied Normalteiler im vorangehenden ist. Über die Gruppe \(\mathfrak G\) wird durchweg die Voraussetzung gemacht, daß sie eine endliche Kompositionsreihe besitzt; ein Teil der Ergebnisse läßt sich jedoch auch ohne diese Voraussetzung bzw. unter einer schwächeren Voraussetzung beweisen.
Zunächst werden eine Reihe von Eigenschaften der invarianten Untergruppen auf die nachinvarianten übertragen. Sind \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak B\) nachinvariant, so gilt das gleiche für den Durchschnitt \(\mathfrak D\) und für das Erzeugnis \(\mathfrak K\) von \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak B\). Die Aussage über das Erzeugnis, die für Normalteiler sofort einzusehen ist, ist für nachinvariante Untergruppen keineswegs trivial; der Beweis erfolgt durch einen doppelten Induktionsschluß nach \(j(\mathfrak G, E)\) und \(j(\mathfrak G, \mathfrak A) + j(\mathfrak G, \mathfrak B)\), wobei für \(\mathfrak S\triangleleft\triangleleft\,\,\mathfrak T\) allgemein \(j(\mathfrak T, \mathfrak S) + 1\) die Anzahl der Glieder in einer von \(\mathfrak T\) nach \(\mathfrak S\) führenden Kompositionskette (d. h. einer nicht mehr zu verfeinernden Normalkette) bedeutet. Die Kompositionsfaktorgruppen von \(\mathfrak G\) bis \(\mathfrak D\) sind, abgesehen von der Vielfachheit, dieselben wie die von \(\mathfrak G\) bis \(\mathfrak A\) und die von \(\mathfrak G\) bis \(\mathfrak B\) zusammen. Die Kompositionsfaktorgruppen von \( \mathfrak K\) sind, abgesehen von der Vielfachheit, dieselben wie die von \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak B\) zusammen. Diese Resultate werden auf die Untersuchung der Kompositionsreihen angewendet; insbesondere wird nach Kompositionsreihen gefragt, in denen die Kompositionsfaktorgruppen eine bestimmte Reihenfolge haben.
Zwei Normalteiler, die nur das Einheitselement gemein haben, sind bekanntlich elementweise miteinander vertauschbar. Verf. verallgemeinert diesen Satz auf nachinvariante Untergruppen und erhält z. B: Zwei nachinvariante Untergruppen \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak B\), die nur das Einheitselement gemein haben, sind sicher dann elementweise miteinander vertauschbar, wenn es keine Primzahl gibt, die sowohl Kompositionsfaktor von \(\mathfrak A\) wie von \(\mathfrak B\) ist. Dieser Satz folgt aus einer noch allgemeineren Aussage, nämlich einer notwendigen und hinreichenden Bedingung für die elementweise Vertauschbarkeit.
Eine weitere Klasse von Sätzen beschäftigt sich mit Bedingungen, unter denen eine nachinvariante Untergruppe sogar invariant ist. Besonders werden hierbei die perfekten Untergruppen behandelt, d. h. diejenigen, welche mit ihrer Kommutatorgruppe übereinstimmen. Eine perfekte nachinvariante Untergruppe ist mit jeder nachinvarianten Untergruppe im ganzen vertauschbar. Eine Gruppe \(\mathfrak R\) mit nur einem echten maximalen Normalteiler \(\mathfrak M_{\mathfrak R}\) heiße einköpfig. Eine gewisse Übersicht über die Gesamtheit der einköpfigen perfekten nachinvarianten Untergruppen gibt folgender Satz: Die Anzahl \(k\) der einköpfigen perfekten nachinvarianten Untergruppen \(\mathfrak A_1,\,\ldots,\,\mathfrak A_k\) von \(\mathfrak G\) ist gleich der Anzahl der nichtabelschen Kompositionsfaktorgruppen von \(\mathfrak G\), und die Faktorgruppen \(\mathfrak A_\varkappa/\mathfrak M_{\mathfrak A_\varkappa}\) stimmen mit den nichtabelschen Kompositionsfaktorgruppen von \(\mathfrak G\) überein.
Jeder Untergruppe \(\mathfrak U\) von \(\mathfrak G\) kann man zwei nachinvariante Untergruppen zuordnen, nämlich den Durchschnitt \(\overline{\mathfrak U}\) aller nachinvarianten Untergruppen von \(\mathfrak G\), die \(\mathfrak U\) enthalten, und das Erzeugnis \(\underline{\mathfrak U}\) aller in \(\mathfrak U\) enthaltenen nachinvarianten Untergruppen. Die Aussage, daß das Erzeugnis zweier nachinvarianter Untergruppen wieder nachinvariant ist, läßt sich dann folgendermaßen verallgemeinern: \(\mathfrak A\) sei eine nachinvariante und \(\mathfrak U\) eine beliebige Untergruppe von \(\mathfrak G\); ihr Erzeugnis sei \(\mathfrak K\). Dann ist \(j(\overline{\mathfrak K},\underline{\mathfrak K})\leqq j(\overline{\mathfrak U},\underline{\mathfrak U})\).
Bisher war die Rede von nachinvarianten Untergruppen einer gegebenen Gruppe \(\mathfrak G\). Verf. untersucht aber auch die umgekehrte Frage, nämlich in welche Gruppen \(\mathfrak G\) sich eine gegebene Gruppe \(\mathfrak A\) nachinvariant einbetten läßt. Bei diesen Untersuchungen beschränkt sich Verf. auf endliche Gruppen und betrachtet nur Einbettungen ohne Zentralisator, d. h. solche, bei denen nur das Einheitselement von \(\mathfrak G\) mit \(\mathfrak A\) elementweise vertauschbar ist. Es ergibt sich, daß die Ordnung \(g\) von \(\mathfrak G\) bei gegebenem \(\mathfrak A\) der Ordnung \(a\) nicht zu groß sein darf. Genauer ist \(g \leqq a^{3\alpha_2^2}\), wobei \(\alpha_2 = \mathop{\text{log}}\limits_2 a\). Der Beweis erfolgt mittels einer Abschätzung der Ordnung \(n\) des Normalisators von \(\mathfrak A\) in \(\mathfrak G\) nach unten. Ist \(\mathfrak A\) perfekt, so ist \(n\geqq\dfrac g{\gamma_{60}^{\alpha_{60}}}\), wobei \(\alpha_{60} =\mathop{\text{log}}\limits_{60} a\), \(\gamma_{60} = \mathop{\text{log}}\limits_{60} g\). Für beliebiges \(\mathfrak A\) gilt ein etwas komplizierterer Satz, welcher besagt, daß entweder der Normalisator von \(\mathfrak A\) groß ist oder \(\mathfrak G\) einen großen Normalteiler von Primzahlpotenzordnung enthält.
Wie nützlich der hier eingeführte Begriff der nachinvarianten Untergruppen ist, zeigt besonders auch der letzte Abschnitt der Arbeit, in welchem Verf. eine interessante Frage, welche bisher noch offen war, beantwortet: Es wird nämlich bewiesen, daß der Automorphismengruppenturm einer endlichen Gruppe \(\mathfrak A_0\), deren Zentrum nur aus dem Einheitselement besteht, immer abbricht. Es sei \(\mathfrak A_1\) die Gruppe der Automorphismen von \(\mathfrak A_0\), \(\mathfrak A_2\) die Gruppe der Automorphismen von \(\mathfrak A_1\) usw. Das Zentrum von jedem \(\mathfrak A_\varrho\) besteht wieder nur aus dem Einheitselement; jedes \(\mathfrak A_\varrho\) hat also ein isomorphes Bild in \(\mathfrak A_{\varrho+1}\), nämlich die Gruppe seiner inneren Automorphismen. Man identifiziere \(\mathfrak A_\varrho\) mit diesem isomorphen Bilde. Dann läßt sich zeigen, daß \(\mathfrak A_0\) nachinvariant und ohne Zentralisator in jedes \(\mathfrak A_\varrho\) eingebettet ist. Aus der oben angeführten Abschätzung folgt also für die Ordnungen \(a_\varrho\) der \(\mathfrak A_\varrho\) \(a_\varrho \leqq a_0^{3\alpha_2^2}\), d. h. der Automorphismengruppenturm bricht nach endlich vielen Schritten ab.

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