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Steinitz field towers for modular fields. (English) JFM 65.0091.03

Ist \(K\) ein Erweiterungskörper des Grundkörpers \(\varOmega\) von der Charakteristik \(p\) und \(T\) eine Transzendenzbasis von \(K/\varOmega\), so besteht der Steinitzsche Körperturm \[ \varOmega\leqq\varOmega(T)\leqq K_0\leqq K_1\leqq\cdots\leqq K \] aus den Körpern \(K_i\) (\(i = 0\), 1,…) aller Elemente von \(K\), deren \(p^i\)-te Potenz über \(\varOmega(T)\) separabel algebraisch ist. \(K_0\) ist separabel algebraisch über \(\varOmega(T)\), jedoch sind die \(K_{i+1}\) über \(K_i\) rein inseparabel. Ist \(K=K_0\), so heißt \(T\) eine separierende Transzendenzbasis von \(K/\varOmega\). In vielen Anwendungen ist die Frage von Interesse, ob \(K/\varOmega\) separierende Transzendenzbasen besitzt, oder, da diese Frage im allgemeinen zu verneinen ist, allgemeiner, inwieweit man beim Aufbau von \(K/\varOmega\) durch eine (nicht notwendig abgezählte) Folge von Zwischenkörpern mit rein transzendenten und separabel algebraischen Erweiterungen auskommt. Mit dieser Frage beschäftigt sich Verf. im Anschluß an eine Arbeit von H. Hasse und F. K. Schmidt (J. reine angew. Math. 170 (1933), 4-63; F. d. M. \(59_{\text{I}}\), 154). Er beweist zunächst den von F. K. Schmidt ohne Beweis ausgesprochenen Satz, daß es zwischen \(\varOmega\) und \(K\) stets einen Zwischenkörper \(\varLambda\) gibt derart, daß (1) \(\varLambda\) eine separierende Transzendenzbasis über \(\varOmega\) besitzt, (2) \(K/\varLambda\) relativ vollkommen ist. Dabei heißt \(K/\varLambda\) relativ vollkommen, wenn \(K\) schon durch Adjunktion der vollkommenen Hülle \(\varLambda^{p^{-\infty}}\) von \(\varLambda\) vollkommen wird, d. h. wenn \(K^{p^{-\infty}}=K\varLambda^{p^{-\infty}}\). Ferner untersucht Verf. die Struktur des Steinitzschen Körperturmes von \(K/\varLambda\); der Fall eines vollkommenen Körpers \(K\) ist von F. K. Schmidt untersucht worden, hier liegt der Nachdruck auf dem Fall eines unvollkommenen \(K\). Falls \(K\) endlichen Transzendenzgrad hat, zeigt er, daß jeder Körper \(K_i/\varLambda\) eine separierende Transzendenzbasis besitzt. Er zeigt ferner durch komplizierte Gegenbeispiele, daß das bei beliebigem Transzendenzgrad nicht immer richtig ist.
Daraus ergibt sich insbesondere, daß eine in der genannten Arbeit von Hasse und Schmidt ohne Beweis ausgesprochene Behauptung, daß stets “separierende Ordnungen” von \(K/\varLambda\) existieren, nicht bei beliebiger Wahl der Transzendenzbasis richtig sein kann. In einer demnächst erscheinenden Arbeit von F. K. Schmidt und dem Verf. wird jedoch bewiesen, daß diese Behauptung bei passender Wahl der Transzendenzbasis zutrifft, so daß die daraus gezogenen, übrigens inzwischen auch auf anderem Wege bestätigten Folgerungen bestehen bleiben.
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References:

[1] A. A. Albert, Modern Higher Algebra, Chicago, 1937.
[2] H. Hasse and F. K. Schmidt, Die Struktur diskret bewerteter Körper, Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 170 (1934), pp. 4-63.
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[5] E. Steinitz, Algebraische Theorie der Körper, edited by R. Baer and H. Hasse, Berlin, 1930.
[6] O. Teichmüller, \( p\)-Algebren, Deutsche Mathematik, vol. 1 (1936), pp. 362-388.
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