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Modular fields I: Separating transcendence bases. (English) JFM 65.0092.01

Es sei \(L\) ein Körper der Charakteristik \(p\) und \(K\) ein Erweiterungskörper von \(L\). Es wird die Frage behandelt, unter welchen Bedingungen eine separierende Transzendenzbasis \(T\) von \(K/L\) existiert, derart daß also \(K/L (T)\) separabel ist. Solche Bedingungen waren bisher nur für vollkommenen Grundkörper \(L\) bekannt. Es werden folgende beiden Hauptsätze bewiesen:
1. Wenn \(K/L\) die \(p\)-Unabhängigkeit erhält, so ist eine Transzendenzbasis \(T\) von \(K/L\) dann und nur dann separierend, wenn \(T\) \(p\)-unabhängig in \(K/L\) ist.
2. Wenn \(K/L\) eine endliche Transzendenzbasis \(T\) hat, so hat \(K/L\) dann und nur dann eine separierende Transzendenzbasis, wenn \(K/L\) die \(p\)-Unabhängigkeit erhält und ein \(e\) existiert, für das \(L(K^{p^e})/L(T)\) separabel ist. Die letzte Bedingung ist z. B. erfüllt, wenn \(K/L\) endlich ist, aber nicht immer, wenn \(K/L\) unendlich ist.
Hierbei sind die Begriffe “\(p\)-unabhängig in \(K\)” und “\(p\)-unabhängig in \(K/L\)” im Sinne von Teichmüller verstanden: Eine Teilmenge \(X\) von \(K\) heißt \(p\)-unabhängig in \(K\), wenn für jede echte Teilmenge \(X'\) von \(X\) auch \(K^p(X')\) echter Teilkörper von \(K^p(X)\) ist, und \(p\)-unabhängig in \(K/L\), wenn ebenso \(K^p(L,X')\) echter Teilkörper von \(K^p(L,X)\) ist. Daß \(K/L\) die \(p\)-Unabhängigkeit erhält, bedeutet, daß jede in \(L\) \(p\)-unabhängige Menge auch in \(K\) \(p\)-unabhängig ist. Es werden verschiedene Charakterisierungen für Erweiterungen \(K/L\) gegeben, welche die \(p\)-Unabhängigkeit erhalten, z. B. durch die folgende gleichwertige Eigenschaft, daß für jede über \(L\) linear unabhängige Teilmenge \(Y\) von \(K\) auch \(Y^p\) über \(L\) linear unabhängig ist.
Im weiteren Verlauf werden Bedingungen angegeben, wann auch für jede Teilerweiterung \(M/L\) von \(K/L\), sowie für \(K/M\) eine separierende Transzendenzbasis existiert. Z. B. gilt: Hat \(K/L\) eine endliche separierende Transzendenzbasis, so auch \(M/L\).
Die Arbeit schließt mit einem Gegenbeispiel, das zeigt, daß der folgende Satz von F. K. Schmidt nicht auch für höheren Transzendenzgrad gilt: Wenn \(K\) über seinem maximalen perfekten Teilkörper \(P\) den Transzendenzgrad 1 hat, so hat \(K/P\) eine separierende Tranzsendenzbasis.
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