Modular fields I: Separating transcendence bases. (English) JFM 65.0092.01

MacLane, S.

Duke math. J. 5, 372-393 (1939).

Es sei \(L\) ein Körper der Charakteristik \(p\) und \(K\) ein Erweiterungskörper von \(L\). Es wird die Frage behandelt, unter welchen Bedingungen eine separierende Transzendenzbasis \(T\) von \(K/L\) existiert, derart daß also \(K/L (T)\) separabel ist. Solche Bedingungen waren bisher nur für vollkommenen Grundkörper \(L\) bekannt. Es werden folgende beiden Hauptsätze bewiesen:
1. Wenn \(K/L\) die \(p\)-Unabhängigkeit erhält, so ist eine Transzendenzbasis \(T\) von \(K/L\) dann und nur dann separierend, wenn \(T\) \(p\)-unabhängig in \(K/L\) ist.
2. Wenn \(K/L\) eine endliche Transzendenzbasis \(T\) hat, so hat \(K/L\) dann und nur dann eine separierende Transzendenzbasis, wenn \(K/L\) die \(p\)-Unabhängigkeit erhält und ein \(e\) existiert, für das \(L(K^{p^e})/L(T)\) separabel ist. Die letzte Bedingung ist z. B. erfüllt, wenn \(K/L\) endlich ist, aber nicht immer, wenn \(K/L\) unendlich ist.
Hierbei sind die Begriffe “\(p\)-unabhängig in \(K\)” und “\(p\)-unabhängig in \(K/L\)” im Sinne von Teichmüller verstanden: Eine Teilmenge \(X\) von \(K\) heißt \(p\)-unabhängig in \(K\), wenn für jede echte Teilmenge \(X'\) von \(X\) auch \(K^p(X')\) echter Teilkörper von \(K^p(X)\) ist, und \(p\)-unabhängig in \(K/L\), wenn ebenso \(K^p(L,X')\) echter Teilkörper von \(K^p(L,X)\) ist. Daß \(K/L\) die \(p\)-Unabhängigkeit erhält, bedeutet, daß jede in \(L\) \(p\)-unabhängige Menge auch in \(K\) \(p\)-unabhängig ist. Es werden verschiedene Charakterisierungen für Erweiterungen \(K/L\) gegeben, welche die \(p\)-Unabhängigkeit erhalten, z. B. durch die folgende gleichwertige Eigenschaft, daß für jede über \(L\) linear unabhängige Teilmenge \(Y\) von \(K\) auch \(Y^p\) über \(L\) linear unabhängig ist.
Im weiteren Verlauf werden Bedingungen angegeben, wann auch für jede Teilerweiterung \(M/L\) von \(K/L\), sowie für \(K/M\) eine separierende Transzendenzbasis existiert. Z. B. gilt: Hat \(K/L\) eine endliche separierende Transzendenzbasis, so auch \(M/L\).
Die Arbeit schließt mit einem Gegenbeispiel, das zeigt, daß der folgende Satz von F. K. Schmidt nicht auch für höheren Transzendenzgrad gilt: Wenn \(K\) über seinem maximalen perfekten Teilkörper \(P\) den Transzendenzgrad 1 hat, so hat \(K/P\) eine separierende Tranzsendenzbasis.

Reviewer: Hasse, Prof. (Halle an der Saale)

JFM Section:

Erster Halbband. C. Arithmetik und Algebra. 5. Abstrakte Theorie der Verbände, Ringe und Körper. c) Körper.