×

Subfields and automorphism groups of \(p\)-adic fields. (English) JFM 65.0092.02

Es handelt sich um die Strukturtheorie der diskret-bewerteten perfekten Körper. Verf. gibt eine neue Begründung dieser Theorie, die sich von der Begründung durch Witt (J. reine angew. Math. 176 (1936), 126-140; F. d. M. \(62_{\text{II}}\), 1112) und Teichmüller (Nachr. Ges. Wiss. Göttingen math.-phys. Kl., FG 1, 1, Nr. 10 (1936), 151-161; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 110) dadurch unterscheidet, daß die Wittsche Vektorrechnung vermieden wird, mit der Begründung, daß sie sophisticated (!!) sei. In einer früheren Arbeit (The uniqueness of the power series representation of certain fields with valuations, Ann. Math., Princeton, (2) 39 (1938), 370-382; F. d. M. \(64_{\text{II}}\)) hatte Verf. bemerkt, daß für den Existenznachweis eines diskret-bewerteten perfekten Körpers zu gegebenem Restklassenkörper die inseparablen Erweiterungen keine Schwierigkeiten machen. In der vorliegenden Arbeit beweist er auf dieser Grundlage auch die Eindeutigkeitssätze, besonders für den charakteristikungleichen absolut-unverzweigten (kurz \(p\)-adischen) Fall.
Verf. beweist ferner den folgenden Isomorphiesatz: Seien \(K\), \(K'\) relativ-unverzweigte perfekte Erweiterungskörper eines diskret-bewerteten perfekten Körpers \(k\) und seien \(\mathfrak K\), \(\mathfrak K'\), \(\mathfrak k\) die zugehörigen Restklassenkörper. Dafür daß ein Isomorphismus von \(\mathfrak K/\mathfrak k\) zu \(\mathfrak K'/\mathfrak k\) einem Wertisomorphismus von \(K/k\) zu \(K'/k\) entspringt, sind folgende beiden Bedingungen hinreichend: 1) \(k\) ist relativ-unverzweigt über einem diskret-bewerteten perfekten Körper mit vollkommenem Restklassenkörper. 2) \(p\)-unabhängige Elemente aus \(\mathfrak k\) sind auch \(p\)-unabhängig in \(\mathfrak K\). Die letzte Bedingung ist u. a. erfüllt, wenn \(\mathfrak K/\mathfrak k\) separabel-algebraisch oder einfach-transzendent ist, oder wenn \(\mathfrak k\) vollkommen ist.
Es werden Bedingungen dafür aufgestellt, daß es zu einem Teilkörper des Restklassenkörpers nur einen Teilkörper des perfekten Körpers gibt. Schließlich werden im \(p\)-adischen Falle die Trägheitsgruppe und die Verzweigungsgruppen (im absoluten und auch im relativen Sinne) bestimmt. Die Verzweigungskörper fallen durchweg mit dem Trägheitskörper zusammen.

PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI