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Infinite number fields with Noether ideal theories. (English) JFM 65.0093.01

Gesucht werden die Körper \(K\), in denen (1) jede nichtarchimedische (Exponenten-) Bewertung diskret ist und in denen (2) jedes von 0 verschiedene Element bei fast allen jenen Bewertungen den Wert 0 erhält. Bekannte Beispiele sind jeder absolut algebraische Körper von Primzahlcharakteristik (hat nur triviale Bewertungen), I die endlichen algebraischen Zahlkörper, II die endlichen algebraischen Funktionenkörper einer Variablen \(t\) über einem absolut algebraischen Koeffizientenkörper \(\varOmega\) von Primzahlcharakteristik. Nach Satz 1 kommen außer diesen Typen nur noch die folgenden hinzu: \(\text{I}_\infty\) jeder unendliche algebraische Zahlkörper \(K\), in dem es zu jeder Bewertung \(W\) einen Unterkörper \(K_W\) endlichen Absolutgrades gibt, so daß \(W\) von \(K_W\) nach \(K\) unverzweigt und unzerlegt ist, ferner \(\text{II}_\infty\): entsprechend wie \(\text{I}_\infty\) über dem Körper der rationalen Zahlen ist \(\text{II}_\infty\) über \(\varOmega(t)\) definiert. – Wird bei der Definition der Typen \(\text{I}_\infty\), \(\text{II}_\infty\) nur gefordert, daß \(K_W\) nach \(K\) unverzweigt für \(W\) ist, so werden zusammen mit den Typen I und II und den absolut algebraischen Körpern von Primzahlcharakteristik genau alle Typen erhalten, die wenigstens der Forderung (1) genügen (Satz 2). – Wird nur gefordert, daß alle nicht archimedischen Bewertungen rational ausfallen, so entstehen genau die absolut algebraischen Körper und die Funktionenkörper einer Variablen über absolut algebraischem Grundkörper von Primzahlcharakteristik (Satz 4). – Wird Forderung (1) und (2) nur an diejenigen Bewertungen von \(K\) gestellt, die jedem Element eines festgegebenen Unterkörpers \(k\) den Wert 0 zuordnen, so entstehen genau die algebraischen Erweiterungen von \(k\), ferner die endlichen Funktionenkörper einer Variabeln über \(k\), sowie eine nicht näher bezeichnete Klasse von unendlichen Funktionenkörpern einer Variablen \(t\) über \(k\), deren Bau zu \(\text{II}_\infty\) analog ist. – Mit Hilfe dieser Sätze wird die Frage, in welchen Integritätsbereichen mit Einheitselement die Noethersche Idealtheorie (‘die von 0 verschiedenen Ideale mit endlichem Nenner bilden eine Gruppe’) gilt, teilweise beantwortet. Wird zusätzlich gefordert, daß jedes Element von \(J\) bei jeder Bewertung ganzzahlig (d. h. \(\geqq 0\)) bewertet wird, so werden genau die von allen ganzen algebraischen Zahlen in den Typen I, \(\text{I}_\infty\) gebildeten Bereiche erhalten. -Schließlich werden Beispiele für die erwähnten unendlichen Zahl- und Funktionenkörper konstruiert.
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