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The universality of formal power series fields. (English) JFM 65.0093.02

Ein (kommutativer) Körper \(F\) heißt universal, wenn jeder andere Körper \(F'\) mit derselben Kardinalzahl von Elementen und derselben Charakteristik einem Teilkörper von \(F\) isomorph ist. Es sei \(\varGamma\) eine geordnete abelsche Gruppe, \(K\) ein Körper. Mit \(K\{t^\varGamma\}\) wird der Körper der formalen Potenzreihen \(x = a_{\alpha_1}t^{\alpha_1} + a_{\alpha_2}t^{\alpha_2} + \cdots+a_{\alpha_\varrho}t^{\alpha_\varrho}+\cdots\) bezeichnet, \(\varrho\) Ordnungszahlen, die \(\alpha_\varrho\) sind Elemente aus \(\varGamma\), deren Anordnung in \(\varGamma\) durch die Ordnungszahlen wiedergegeben wird. Ist nun \(\varGamma\) eine “Wurzelgruppe” d. h. hat die Gleichung \(n^\gamma=\alpha\), \(\alpha\) gegeben, für jede ganze Zahl \(n\) eine Lösung \(\gamma\in\varGamma\), und ist \(K\) algebraisch abgeschlossen, so ist \(K\{t^\varGamma\}\) stets universal. Dies ist die Beantwortung einer Frage von A. Gleyzal (Proc. nat. Acad. Sci. USA, 23 (1937), 581-587; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 95), die verwendeten Hilfsmittel stammen von W. Krull (J. reine angew. Math. 167 (1932), 160-196; F. d. M. \(58_{\text{I}}\), 148).

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