Structure of algebras. (English) JFM 65.0094.02

Albert, A. A.

American Mathematical Society Colloquium Publications. Vol. XXIV. New York, American Mathematical Society. xi, 210 p. (1939).

Das Buch enthält eine ausführliche und klare Darstellung der Strukturtheorie der Algebren, welche sich auf des Verf. Modern higher algebra (Chicago 1937; JFM 64.0071.01) als elementare Grundlage stützt. Nach dem Dicksonschen Buche [L. E. Dickson, Algebras and their arithmetics. Chicago: Univ. of Chicago Press (1923; JFM 49.0079.01), deutsche Ausgabe: Zürich: Orell Füssli (1927; JFM 53.0112.01)], welches die Grundlage für die erfolgreiche neuere Entwicklung dieser Theorie wurde, wird hier zum ersten Male in der Form eines Lehrbuches das gesamte Gebiet von den Wedderburnschen Struktursätzen bis zum Brauer-Hasse-Noetherschen Fundamentalsatz über die einfachen Algebren über dem rationalen Zahlkörper entwickelt, und zugleich werden auch Seitenzweige, wie die besonders vom Verf. geförderten \(p\)-Algebren und involutorischen Algebren, berücksichtigt. Nicht behandelt wird die Arithmetik der Algebren, jedenfalls soweit sie nicht für den Aufbau unbedingt nötig ist; Verf. beabsichtigt, darauf in einer besonderen Monographie einzugehen. Von dem 1935 erschienenen glänzenden Bericht Deurings [M. Deuring, Algebren, Ergebn. Math. Grenzgeb. 4 Nr. 1, Berlin: Julius Springer (1935; JFM 61.0118.01)] unterscheidet sich die vorliegende Darstellung über die durch die Verschiedenheit der Zielsetzung bedingten Unterschiede hinaus durch die Art der Darbietung des Stoffes. Während bei Deuring das Gebiet unter weittragenden Gesichtspunkten und in größtmöglicher Allgemeinheit behandelt wird, werden hier die jeweils möglichst elementaren, konstruktiven, über viele Einzelresultate zum Allgemeinen fortschreitenden Methoden bevorzugt. Dieses Vorgehen bietet zum mindesten für ein Lehrbuch und für den Anfänger viele Vorteile; daneben dürfte jedoch, insbesondere für das Eindringen in die zentrale Theorie der rationalen Algebren (Kap. 9) und die Zusammenhänge mit der Arithmetik der Zahlkörper, speziell der Klassenkörpertheorie, auch die andere Art der Behandlung und Betrachtung von Wichtigkeit sein.
Im einzelnen gliedert sich der Inhalt wie folgt. Die beiden ersten Kapitel enthalten eine ausführliche Einführung in die Grundbegriffe und ihre elementaren Eigenschaften: Lineare Mannigfaltigkeiten, Algebren, direkte Produkte, normale Algebren, Matrixalgebren, Divisionsalgebren, charakteristisches und Minimalpolynom, Norm, Spur, Idempotente, Nilpotente, Peircesche Zerlegung, Differenzenalgebra, direkte Summe, Zentrum, Erweiterung des Grundkörpers. Im dritten Kapitel folgen die Wedderburnschen Struktursätze, und zwar mit sorgfältig vorbereiteten einfachen Beweisen, welche auf den Richard Brauerschen Satz gegründet werden, daß das direkte Produkt einer normalen einfachen Algebra mit ihrer reziproken eine volle Matrixalgebra darstellt. Kapitel 4 behandelt einfache Algebren: Teilalgebren, Verhalten bei Erweiterung des Grundkörpers, Algebrenklassengruppe, Schurschen Index, Zerfällungskörper, endliche Divisionsalgebren, Anwendungen auf die Galoissche Theorie. 5. Kapitel: Theorie der verschränkten Produkte und zyklischen Algebren, Faktorensysteme, Exponent einer normalen einfachen Algebra, Zerlegung einer normalen Divisionsalgebra in direkte Faktoren von Primzahlpotenzgrad. 6. Kapitel: Halbkörper, direkte Summen isomorpher Körper, insbesondere zyklische Halbkörper, zyklische Systeme und deren Gruppe. 7. Kapitel: Verallgemeinerte zyklische Algebren und ihre Grundeigenschaften, direkte Produkte, Normeigenschaften, Exponent, Algebren von Primzahlpotenzgrad, Grundkörper von Primzahlcharakteristik, \(p\)-Algebren. 8. Kapitel: Kurzer Abriß der Darstellungstheorien auf Grund der vorherigen Ergebnisse, verallgemeinerte Riemannsche Matrizen nach Weyl und Albert. Das 9. Kapitel bringt die tieferliegende Theorie der Divisionsalgebren über dem rationalen Zahlkörper, \(p\)-adische Körper und ihre Arithmetik, Divisionsalgebren über \(p\)-adischen Körpern und ihre Arithmetik, Henselsches Lemma, Automorphismengruppe, Quaternionenalgebren. Die für den Beweis des Brauer-Hasse-Noetherschen Fundamentalsatzes notwendigen tieferen Sätze der algebraischen Zahlentheorie, Normensatz, Dedekindscher Diskriminantensatz, Grunwaldscher Existenzsatz werden ohne Beweis aus der Zahlentheorie übernommen. 10. Kapitel: Involutionen, symmetrische und antisymmetrische Elemente bezüglich einer Involution, Involutionen erster und zweiter Art, Involutionen direkter Produkte und verschränkter Produkte, Involutionen über algebraischen Zahlkörpern, über reellen Körpern \(K\) und über Körpern \(K(\sqrt{-1})\). Multiplikationsalgebren verallgemeinerter Riemannscher Matrizen. Das letzte Kapitel enthält Ergänzungen und Einzelresultate und zahlreiche Literaturhinweise. Divisionsalgebren über speziellen Körpern und von kleinen Graden, Assoziativität verschränkter Produkte, Riemannsche Matrizen. Das Buch schließt mit einer vollständigen Bibliographie und einem Sachverzeichnis.

Reviewer: Franz, W., Prof. (Berlin)

MSC:

12-01	Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to field theory
13-01	Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to commutative algebra
16-01	Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to associative rings and algebras

JFM Section:

Erster Halbband. C. Arithmetik und Algebra. 5. Abstrakte Theorie der Verbände, Ringe und Körper. d) Algebren.

Citations:

JFM 64.0071.01; JFM 49.0079.01; JFM 53.0112.01; JFM 61.0118.01