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Beiträge zur Arithmetik kommutativer Integritätsbereiche. VII: Inseparable Grundkörpererweiterung. Bemerkungen zur Körpertheorie. (German) JFM 65.0100.02

Der vorliegende Beitrag VII schließt sich eng an den vorhergehenden Beitrag VI (s. vorstehendes Referat) an. Es sei \(\mathbf K\) ein Körper, \(\mathfrak R\) ein ganz-abgeschlossener Erweiterungsintegritätsbereich von \(\mathbf K\), in dem \(\mathbf K\) algebraisch-abgeschlossen ist, und \(\mathfrak K\) der Quotientenkörper von \(\mathfrak R\). Ferner sei \(\boldsymbol\Lambda\) ein algebraischer Erweiterungskörper von \(\mathbf K\) und \(\mathfrak S=\boldsymbol\Lambda\mathfrak R\), \(\mathfrak L=\boldsymbol\Lambda\mathfrak K\). Wenn \(\boldsymbol\Lambda\) separabel über \(\mathbf K\) ist, so gelten nach Beitrag VI für das Verhalten der \(\mathfrak R\)-Ideale beim Übergang zu \(\mathfrak S\) folgende drei Sätze:
(1) Ist \(\mathfrak p\) ein \(\mathfrak R\)-Primideal und sind \(\mathfrak q_1\), \(\mathfrak q_2\),…die in ihm aufgehenden \(\mathfrak S\)-Primideale, so ist \(\mathfrak p\mathfrak S=\mathfrak q_1\cap\mathfrak q_2\cap\cdots\).
(2) Ist \(\mathfrak x\) ein zu \(\mathfrak p\) gehöriges \(\mathfrak R\)-Primideal, so ist \(\mathfrak x\mathfrak S=\mathfrak y_1\cap\mathfrak y_2\cap\cdots\), wo \(\mathfrak y_1\), \(\mathfrak y_2\),…zu \(\mathfrak q_1\), \(\mathfrak q_2\),…gehörige \(\mathfrak S\)-Primärideale sind.
(3) Für jedes \(\mathfrak R\)-Ideal \(\mathfrak a\) ist \(\mathfrak a\mathfrak S\cap\mathfrak R=\mathfrak a\).
In Beitrag VII wird darüber hinaus, unabhängig von der Voraussetzung, daß \(\boldsymbol\Lambda\) über \(\mathbf K\) separabel ist, gezeigt:
(4) Die Anzahl der \(\mathfrak q_1\), \(\mathfrak q_2\),…hängt (außer von \(\boldsymbol\Lambda\)) nur von dem Restklassenring \(\mathfrak R|\mathfrak p\) ab.
Andrerseits wird für den Fall, daß \(\boldsymbol\Lambda\) über \(\mathbf K\) inseparabel ist, festgestellt: (1) gilt nicht notwendig, (2) bleibt zweifelhaft, (3) gilt nicht notwendig. Diesen negativen Feststellungen wird das positive Ergebnis angereiht, daß (1) (geeignet verallgemeinert), (2), (3) für über \(\mathbf K\) inseparables \(\boldsymbol\Lambda\) sicher dann gelten, wenn nicht nur – wie schon vorausgesetzt – \(\mathbf K\) in \(\mathfrak K\) algebraisch-abgeschlossen ist, sondern auch jede algebraische Erweiterung \(\mathbf K^*\) von \(\mathbf K\) in der entsprechenden algebraischen Erweiterung \(\mathfrak K^*=\mathbf K^*\mathfrak K\) von \(\mathfrak K\) algebraisch-abgeschlossen ist. (Verf. nennt dann \(\mathfrak K\) streng-transzendent über \(\mathbf K\).)
Es wird gezeigt, daß dies sicher dann der Fall ist, wenn \(\mathfrak K\) über \(\mathbf K\) separabel erzeugbar ist (d. h. wenn \(\mathfrak K\) über einer geeigneten rein-transzendenten Erweiterung von \(\mathbf K\) separabel ist). Ferner wird gezeigt, daß dann und nur dann jeder Erweiterungskörper \(\mathfrak K\) von \(\mathbf K\), in dem \(\mathbf K\) algebraisch-abgeschlossen ist, von selbst auch streng-transzendent über \(\mathbf K\) ist, wenn jede endlich-algebraische Erweiterung von \(\mathbf K\) einfach ist. (Verf. nennt dann \(\mathbf K\) fast vollkommen.)
Beiläufig ergibt sich eine Abgrenzung des Gültigkeitsbereiches einer bekannten Gradformel aus der Galoisschen Theorie. Ist \(\mathbf N\) eine endlich-algebraische normale Erweiterung von \(\mathbf K\) und \(\boldsymbol\Lambda\) eine beliebig endlich-algebraische Erweiterung von \(\mathbf K\), so gilt für den Fall, daß \(\mathbf N\) über \(\mathbf K\) separabel ist, die Formel \([\mathbf N\boldsymbol\Lambda : \boldsymbol\Lambda] = [\mathbf N : \mathbf N\cap\boldsymbol\Lambda]\). Es wird gezeigt, daß diese Formel auch für den Fall gilt, daß \(\mathbf N\) über \(\mathbf K\) inseparabel ist, wenn nur \(\mathbf K\) fast vollkommen ist; andernfalls kann \(<\) statt = gelten.
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