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Die Wronskische Determinante in beliebigen differenzierbaren Funktionenkörpern. (German) JFM 65.0115.02
Es sei \(K\) ein Körper, in dem eine iterative Differentiation erklärt ist: Jedem Element \(y\) aus \(K\) ist eine Ableitungsfolge \(y^{(0)}= y\), \(y^{(1)}= y'\), \(y^{(2)}\),…so zugeordnet, daß gilt: \[ \begin{alignedat}{2} &\text{Summenregel}&&(y_1+ y_2)^{(\nu)} =y_1^{(\nu)}+y_2^{(\nu)},\\ &\text{Produktregel}&&(y_1y_2)^{(\nu)} ={\sum\limits_{\nu_1+\nu_2=\nu}} y_1^{(\nu_1)}y_2^{(\nu_2)},\\ &\text{Iterationsregel}\quad&&(y^{(\mu)})^{(\nu)}=\binom{\mu+\nu}\mu y^{(\mu+\nu)}. \end{alignedat} \] Mit \(k\) sei der Teilkörper der absoluten Differentiationskonstanten \(c\) bezeichnet: \(c^{(\nu)} = 0\) für alle \(\nu\geqq 1\).
Für ein über \(k\) linear-abhängiges Elementsystem \(y_0\),…, \(y_n\) aus \(K\) verschwindet die Determinante \[ \varDelta_{0,\dots,n}(y_0,\dots,y_n)=\left|y_i^{(j)}\right|\qquad(i,j=0,\dots,n) \tag{"}\indent(1)" \] und allgemeiner auch jede Determinante \[ \varDelta_{\nu_0,\dots,\nu_n}(y_0,\dots,y_n)=\left|y_i^{(\nu_j)}\right|\qquad (i,j=0,\dots,n), \tag{"}\indent(2)" \] wo \(\nu_0\leqq\cdots\leqq\nu_n\) irgendwelche nicht-negative ganze Zahlen sind. Für ein über \(k\) linear-unabhängiges Elementsystem \(y_0\),…, \(y_n\) aus \(K\) kann aber (1) ebenfalls verschwinden, wie einfache Beispiele mit \(K\) von Primzahlcharakteristik \(p\) zeigen. Verf. zeigt nun, daß es zu jedem System über \(k\) linear-unabhängiger \(y_0\),…, \(y_n\) aus \(K\) ein System nicht-negativer ganzer Zahlen \(\nu_0\leqq\cdots\leqq\nu_n\) derart gibt, daß (2) nicht verschwindet. Das lexikographisch kleinste derartige Zahlsystem \((\nu_0,\dots,\nu_n)\) ändert sich nicht, wenn man von der gegebenen Differentiation mittels der Kettenregel zu einer anderen Differentiation übergeht. Hat \(K\) die Charakteristik 0, so enthält das Zahlsystem \((\nu_0,\dots,\nu_n)\) mit einer Zahl \(\nu\) immer auch alle kleineren nicht-negativen ganzen Zahlen, es ist also einfach \((\nu_0,\dots,\nu_n)= (0,\dots,n)\), d. h. die gewöhnliche Wronskische Determinante (1) entscheidet über die lineare Abhängigkeit. Hat \(K\) Primzahlcharakteristik \(p\), so enthält das Zahlsystem \((\nu_0,\dots,\nu_n)\) mit einer Zahl \(\nu\) immer auch alle nicht-negativen ganzen Zahlen, deren \(p\)-adische Ziffern (aus der Reihe 0,…, \(p - 1\)) einzeln nicht größer sind als die von \(\nu\). Jedes dieser Bedingung genügende Zahlsystem \((\nu_0,\dots,\nu_n)\) kommt auch wirklich bei einem geeigneten Elementsystem \(y_0\),…, \(y_n\) aus \(K\) vor, wenn nur \(K>k\) ist.

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