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Zur arithmetischen Theorie der algebraischen Funktionen. II: Allgemeine Theorie der Weierstraßpunkte. (German) JFM 65.0116.01
Sei \(K\) ein algebraischer Funktionenkörper einer Unbestimmten vom Geschlecht über einem beliebigen Konstantenkörper \(k\). Eine natürliche Zahl \(\nu\) heißt Fehlzahl für einen Primdivisor \(\mathfrak p\) von \(K/k\), wenn es in \(K\) kein Element mit dem genauen Nennerdivisor \(\mathfrak p^\nu\) gibt. Aus dem Riemann-Rochschen Satz folgt, daß die Fehlzahlen \(\nu<2g\) sind und daß bei algebraisch-abgeschlossenem \(k\) ihre Anzahl \(g\) ist. Verf. gibt zunähst eine auch für Primzahlcharakteristik wirklich brauchbare Definition der Weierstraßpunkte: \(\mathfrak p\) heißt gewöhnlicher Punkt oder Weierstraßpunkt von \(K\), je nachdem unendlich viele oder nur endlich viele Primdivisoren von \(K/k\) die gleichen Fehlzahlen wie \(\mathfrak p\) haben. Er beweist sodann folgende Sätze:
I. Die Anzahl der Weierstraßpunkte von \(K\) ist endlich.
II. Ist \(k\) algebraisch-abgeschlossen, so haben alle gewöhnlichen Punkte von \(K\) das gleiche Fehlzahlsystem \((\nu_1,\dots,\nu_g)\) und alle Weierstraßpunkte lexikographisch größere Fehlzahlsysteme. Für \(g > 1\) gibt es mindestens einen Weierstraßpunkt. Bei Charakteristik 0 ist \((\nu_1,\dots,\nu_g) =(1,\dots, g)\). Bei Primzahlcharakteristik \(p\) kommt unter den \(\nu_i-1\) mit einer Zahl auch immer jede nicht-negative ganze Zahl vor, deren \(p\)-adische Ziffern einzeln nicht größer sind, und \((\nu_1,\dots,\nu_g)\neq(1,\dots, g)\) kommt nur für \(2g > p + 1\) vor.
III. Ist \(k\) algebraisch-abgeschlossen, so besitzt \(K\) bei Charakteristik 0 und \(g > 1\) mindestens \(2g + 2\) verschiedene Weierstraßpunkte, und diese untere Schranke wird nur für hyperelliptische \(K\) angenommen; bei Primzahlcharakteristik braucht dagegen \(K\) bei beliebig hohem Geschlecht nur einen Weierstraßpunkt zu besitzen.
Im Rest der Arbeit werden einige Spezialfälle zur Beleuchtung der allgemeinen Ergebnisse ausführlich behandelt, nämlich der hyperelliptische Fall bei beliebigem \(k\), ein allgemeines Beispiel für \((\nu_1,\dots,\nu_g)\neq(1,\dots, g)\) bei algebraisch-abgeschlossenem \(k\), sowie alle möglichen \((\nu_1,\dots,\nu_g)\) für \(g= 3\) und \(g= 4\) bei algebraisch-abgeschlossenem \(k\). (Teil I, Math. Z. 41 (1936), 415-438; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 115.)
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