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On character sums in finite fields. (English) JFM 65.0116.03
Verf. betrachtet die Charaktersummen \[ S(f,\chi)={\sum\limits_{x\text{ in }[q]}}\chi_1(f_1(x))\cdots\chi_r(f_r(x)), \] wo \([q]\) ein endlicher Körper mit \(q\) Elementen, \(f_1\),…, \(f_r\) verschiedene normierte Polynome über \([q]\) und \(\chi_1\),…, \(\chi_r\neq1\) Charaktere der Multiplikationsgruppe von \([q]\) sind. Jede solche Summe \(S(f,\chi)\) ist die negative Summe der Nullstellen in \(q^s\) einer \(L\)-Funktion \(L(s;f,\chi)\) eines algebraischen Funktionenkörpers über \([q]\) mit Grundgleichung vom Typus \(y^n = f(x)\). Die Theorie dieser \(L\)-Funktionen wurde vom Ref. (J. reine angew. Math. 172 (1934), 37-54; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 97) entwickelt. Verf. gibt eine elementare (von der Theorie der algebraischen Funktionenkörper freie) Definition der \(S(f,\chi)\) zugeordneten \(L\)-Funktion: \[ L(s;f,\chi) ={\sum\limits_{\nu=0}^{\infty}}\frac{\sigma_\nu}{q^{\nu s}} \;\text{ mit }\;\sigma_\nu={\sum\limits_{g_\nu}}\chi_1(f_1,g_\nu)\cdots\chi_r(f_r,g_\nu), \] wo \(g_\nu\) alle normierten Polynome \(\nu\)-ten Grades über \([q]\) durchläuft und \((f,g)\) die Resultante der normierten Polynome \(f\), \(g\) bezeichnet. Er beweist sodann auf elementarem Wege folgende Tatsachen:
1) Die bekannte Regel für den Übergang zu einem \([q]\) enthaltenden endlichen Körper.
2) Die Funktionalgleichung \[ \displaylines{ q^{\frac12(K-1)s}L(s;f,\chi)=\varepsilon(f,\chi)q^{\frac12(K-1)(1-s)} L(1-s;f,\overline{\chi}),\cr \text{wo}\hfill\cr \varepsilon(f,\chi)=q^{-\frac12(K-1)}\sigma_{K-1},\qquad |\varepsilon(f,\chi)|=1,\cr K=k_1+\cdots+k_r\;\text{ die Gradsumme von }\;f_1,\dots,f_r.\cr } \] Hierbei wird \(\sigma_{K-1}\) explizit durch Gaußsche Summen und Charaktere gewisser Resultanten der \(f_1\),…, \(f_r\) ausgedrückt. Für \(\chi_1^{k_1}\cdots\chi_r^{k_r}=1\) ist in der Funktionalgleichung \(L(s;f,\chi)\) durch die zugehörige eigentliche \(L\)-Funktion \[ \frac{L(s;f,\chi)}{1-\dfrac1{q^s}}={\sum\limits_{\nu=0}^{\infty}} \frac{\sigma_\nu'}{q^{\nu s}} \] und \(K\) durch \(K - 1\) sowie \(\sigma_{K-1}\) durch \(\sigma_{K-2}'\) zu ersetzen.
3) Die auf die Riemannsche Vermutung zielende Aussage, daß die Nullstellenbeträge jedenfalls höchstens gleich \(q^{1-\varTheta_K}\) sind, wo \[ \varTheta_2=\tfrac12,\quad \varTheta_3=\tfrac14,\quad \varTheta_K=\frac3{2(K+4)}\text{ für }K\geqq4. \] Für \(\chi_1^{k_1}\cdots\chi_r^{k_r}=1\) kann dabei wieder \(K\) durch \(K - 1\) ersetzt werden. Für \(K > 3\) waren bisher solche Abschätzungen nur in Fällen bekannt, wo alle Charaktere quadratisch sind; die hier gewonnenen Abschätzungen sind für \(K > 3\) durchweg schärfer als jene früheren Abschätzungen.
Als Anwendung dieser Abschätzungen ergibt sich einerseits die Richtigkeit der in der Dissertation von Bilharz (Math. Ann. 114 (1937), 476-492; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 99) gemachten Annahme, so daß der dort ausgesprochene Satz über die Dichte der Primzahlen mit vorgegebener Primitivwurzel nunmehr vollständig bewiesen ist. Ferner hebt Verf. noch folgende Anwendung auf die Verteilung der Potenzreste hervor: Für eine Primzahl \(p\) seien \(K\) Charaktere \(\chi_i\) der Ordnungen \(l_i\neq1\) und ihnen zugeordnete \(l_i\)-te Einheitswurzeln \(\varepsilon_i\) gegeben. Dann genügt die Anzahl \(E(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_K)\) der Sequenzen \(x + 1\),…, \(x + K\) aus der Reihe 1,…, \(p - 1\) mit \(\chi_i(x+i)=\varepsilon_i\) der Ungleichung \[ \bigg|E(\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_K)-\frac p{l_1\dots l_K}\bigg|< K(p^{1-\varTheta_K}+1). \] Für hinreichend großes \(p\) gibt es also Sequenzen dieser Art.

MSC:
11T24 Other character sums and Gauss sums
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References:
[1] A normalised polynomial is one in which the coefficient of the highest power ofx is I.
[2] Journal für Math. (Crelle), 172 (1934), 37–54.
[3] (f,g), where \(\Phi\) runs through the roots ofg(x)=0.
[4] Forv=0, there is only one polynomialg, namely 1. Also (f i , 1)=1. Hence \(\sigma\)o=I.
[5] This was conjectured by Hasse (loc. cit., 52). A proof different from that in the present paper has been given (in an unpublished MS) by Witt.
[6] Hamburg Abh. 10 (1934), 325–348.
[7] ForK>3, all previously known inequalities forS(f, \(\chi\)) dealt only with the case in which all the characters are quadratic. For an account of them, see Davenport, Journal London Math. Soc. 8 (1933), 46–52. They are all weaker than (13) above.
[8] Math. Annalen 114 (1937), 476–492.
[9] loc. cit. Math. Annalen 114 (1937), 476–492 (20).
[10] Journal für Math. (Crelle), 172 (1934), 151–182. The Gaussian sums are defined there with a negative sign prefixed.
[11] Journal für Math. (Crelle), 176 (1937), 189–191.
[12] Ifv=k, the first line of (23) is empty.
[13] Ifv=K, the first line of (27) is empty.
[14] This proof is essentially the same as one given in a previous paper (Journal London Math. Soc. 7 (1932), 117–121).
[15] The proof is a refinement and extension of a method previously used in connection with a special case of the problem (see Quarterly Journal of Math. 8 (1937), 308–312).
[16] See Davenport, Journal London Math. Soc. 8 (1933), 46–52. · Zbl 0006.24901 · doi:10.1112/jlms/s1-8.1.46
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