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Estimation d’une somme arithmétique. (French) JFM 65.0139.03
Es sei \(\tau_k(m)\) die Anzahl der Lösungen der Gleichung \[ x_1x_2\cdots x_k=m \] in positiven ganzen Zahlen \(x_1,x_2,\dots,x_k\). Es sei \(T_k^{(l)}(n)=\sum \limits_{1\leqq m\leqq n}\tau_k^l(m)\). Für ganze Zahlen \(k\geqq 2\), \(l\geqq 1\) und \(n\geqq 1\) wird dann mit \(q=k^l\) \[ \frac1nT_k^{(l)}(n)<\frac{q}{(k!)^{\frac{q-1}{k-1}}}(\log n+q-1)^{q-1} \] bewiesen. Zu diesem Zweck wird im Falle \(l=1\) jedes \(\tau_{k+1}(m)\) auf \(\tau(m)\) zurückgeführt; die Behauptung beruht dann im wesentlichen auf der leicht ersichtlichen Abschätzung \(T_2^{(1)}(n)<n(\log n+1)\). Induktion nach \(l\) führt zu dem allgemeinen Ergebnis.

Subjects:
Erster Halbband. C. Arithmetik und Algebra. 7. Zahlentheorie. c) Diophantische Gleichungen.
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