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On Waring’s problem for cubes. (English) JFM 65.0144.04
Für jedes ganze \(n>0\) bedeute \(G_1(n)\) das kleinste \(s\) mit der Eigenschaft, daß sich fast alle natürlichen Zahlen als Summe von \(s\) nichtnegativen \(n\)-ten Potenzen darstellen lassen. Schon Hardy und Littlewood (Math. Z. 23 (1925), 1-37; F. d. M. 51, 148) gaben für \(G_1(n)\) (\(n\geqq 3\)) eine Abschätzung nach oben, die wesentlich unterhalb ihrer Schranke für \(G(n)\) blieb. Insbesondere ergab sich \(G_1(3)\leqq 5\). Durch schärfere Ausnutzung des Verfahrens beweist nun Verf., daß sich bereits fast alle natürlichen Zahlen als Summe von vier positiven Kuben darstellen lassen, daß nämlich für die Anzahl \(E(N)\) der nicht in dieser Gestalt darstellbaren natürlichen Zahlen \(\leqq N\) bei jedem \(\varepsilon>0\) \[ E(N)=O\left(N^{\frac{29}{30}+\varepsilon}\right) \] ist. Da \(G_1(3)>3\) trivial ist, so ist damit \(G_1(3)=4\) gezeigt und \(G_1(n)\) erstmalig für ein \(n>2\) genau ermittelt. Die entscheidende Verbesserung des Beweisverfahrens besteht in einer Abschätzung für die Lösungszahl der diophantischen Gleichung \[ x_1^3+y_1^3+z_1^3=x_2^3+y_2^3+z_2^3 \] unter den Nebenbedingungen \[ P\leqq x_i\leqq 2P,\quad P^{\frac45}\leqq\left\{\begin{matrix} y_i\\z_i\end{matrix}\right\}\leqq 2P^{\frac45} \qquad(i=1,2). \]

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References:
[1] Partitio Numerorum VI,Math. Zeitschrift, 23 (1925), 1–37.
[2] Expositions of the general method (of which the proof of this Lemma is a particular case) will appear in the Proc. Royal Soc., and in Acta Arithmetica.
[3] References to Landau are toVorlesungen über Zahlentheorie, (Leipzig 1927), volume 1.
[4] An alternative method of proof is given in Landau, Satz 329 to satz 337. The less precise result obtainable by a single partial summation would in fact also suffice, but then the proof of Lemma 11 would be much more complicated.
[5] This violates the usual convention connecting the upper bound for the denominators of the major ares with the order of the Farey dissection. It corresponds, however, to the fundamentally different ways in which the arcs are treated.
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