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On the addition of pointsets in the sense of Schnirelmann. (Russian. English summary) JFM 65.0152.04
1) Die Summe zweier Mengen \(A\) und \(B\) von nicht-negativen reellen Zahlen wird definiert als die Menge aller Summen \(a+b\), wo \(a\) zu \(A\) und \(b\) zu \(B\) gehört. Die Dichte \(\pi_A(x)\) der Menge \(A\) in \((0,x)\) wird definiert als die untere Grenze von \(\dfrac{m(\xi)}\xi\) für \(0<\xi<x\), wo \(m(\xi)\) das innere Maß des Durchschnitts von \(A\) mit dem Intervall \((0,\xi)\) ist. Verf. beweist: Für beliebige Mengen \(A\) und \(B\) und \(x>0\) ist \[ \pi_{A+B}(x)\geqq\operatorname{Min}(\pi_A(x)+\pi_B(x),1). \] 2) Eine Menge \(B\) von nicht-negativen reellen Zahlen heißt eine Basis für das Intervall \((0,x)\) falls jede Zahl in \((0,x)\) als Summe von endlich vielen Zahlen aus \(B\) darstellbar ist. Die Menge \(B\) heißt Basis im schwachen Sinne, falls die Menge aller endlichen Summen von Zahlen aus \(B\) überall dicht auf \((0,x)\) ist. Verf. beweist die Existenz einer Basis vom Maß Null. Er konstruiert auch eine perfekte Menge vom Maß Null, welche keine Basis ist. 3) Die Höhe \(h(\xi)\) der “Basis im schwachen Sinne” \(B\) im Punkte \(\xi\) wird definiert als \(\liminf\limits_{\eta\to\xi}g(\eta)\), wo \(g(\eta)\) die kleinste natürliche Zahl \(n\) ist, für die \(\eta\) zu \(nB\) gehört. Die Höhe \(H(y)\) von \(B\) auf dem Intervall \((0,y)\) wird definiert als die obere Grenze für \(0<x<y\) von \[ \frac1x\int_0^x h(\xi)\,d\xi. \] Verf. beweist: Falls \(B\) eine Basis im schwachen Sinne ist mit Höhe \(\leqq \lambda\), dann ist für jede Menge \(A\) mit Dichte \(\geqq\alpha\) die Dichte von \(A+B\) mindestens \(\alpha+\dfrac{\alpha(1-\alpha)}{2\lambda}\). 4) Ähnliche Sätze werden bewiesen für Mengen, die auf einem Kreis vom Umfang 1 liegen.

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