Additive arithmetical functions and statistical independence. (English) JFM 65.0165.01

Erdös, P.; Wintner, A.

Amer. J. Math. 61, 713-721 (1939).

Verf. geben notwendige und hinreichende Bedingungen, damit eine additive arithmetische Funktion \(f(n)\) (\(n=1,2,\dots\)) eine asymptotische Verteilungsfunktion besitzt. Die monotone Funktion \(\sigma(x)\) mit den Eigenschaften \(\sigma(-\infty)=0\), \(\sigma(+\infty)=1\) heißt asymptotische Verteilungsfunktion von \(f(n)\), falls in jedem Stetigkeitspunkt von \(\sigma(x)\): \[ \lim_{n\to\infty}\frac{A(n)}{n}=\sigma(x) \] ist, wo \(A(n)\) die Anzahl der natürlichen Zahlen \(m\leqq n\) mit der Eigenschaft \(f(m)<x\) ist. Eine solche notwendige und hinreichende Bedingung ist, daß die Reihen \[ \sum\frac{f^+(p)}p\text{ \;und \;}\sum\frac{f^+(p)^2}p \] (wo \(p\) die Primzahlen durchläuft und \(f^+(n)=f(n)\) oder 1, je nachdem \(|f(n)|<1\) oder \(|f(n)|\geqq 1\)) konvergieren. Es werden noch andere notwendige und hinreichende Bedingungen angegeben, und das Problem wird in Zusammenhang gesetzt mit der Theorie der unendlichen Faltungen (convolutions) (vgl. B. Jessen, A. Wintner, Trans. Amer. math. Soc. 38 (1935), 48-88; F. d. M. 61\(_{\text{I}}\), 462). Es besitzt nämlich \(f(n)\) dann und nur dann eine asymptotische Verteilungsfunktion, falls die formal zu \(f(n)\) gehörige unendliche “convolution” konvergiert.

Reviewer: Kloosterman, H. D., Prof. (Leiden)