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Sur la dérivée seconde généralisée. (French) JFM 65.0206.02

Bull. Sém. math. Univ. Wilno 2, 35-40 (1939).
Ein früheres Ergebnis der Verf. (Fundam. Math., Warszawa, 26 (1936), 1-43; JFM 62.0287.*) lautete: Besitzt eine meßbare Funktion auf einer Menge \(E\) von positivem Maß eine verallgemeinerte zweite Derivierte im Sinne von Schwarz, so hat sie fast überall auf \(E\) eine zweite Derivierte im Sinne von de la Vallèe Poussin. Dieses Ergebnis wird folgendermaßen verallgemeinert: Es sei \(f(x)\) eine meßbare Funktion und \[ A+B+C=0,\quad aA + bB+cC=0,\quad a^2 A + b^2B + c^2C = 2. \] Wenn in einer Menge von positivem Maß \[ \limsup_{t\to +0}\dfrac{1}{t^2}|af(x+at)+Bf(x+bt)+Cf(x+ct)|<\infty \] ist, so gilt fast überall auf dieser Menge \[ f (x + t) = f(x) + a(x) t + \tfrac12 b(x) t^2 +o(t^2). \]

Citations:

JFM 62.0287.*