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Sur l’approximation polynomiale des fonctions continues d’une variable réelle. (French) JFM 65.0249.03
\(9^{\text{me}}\) Congr. Math. Scand. 1938, 367-369 (1938).
Anschließend an S. Bernstein (Leçons sur les propriétés extrémales et la meilleure approximation des fonctions analytiques d’une variable réelle (1926; F. d. M. 52, 256 (JFM 52.0256.*)), insbes. S. 62 u. 74) betrachtet Verf. die Approximation stetiger Funktionen durch Polynome auf der ganzen reellen Achse. Sei \(K(x) > 0\) eine für \(-\infty <x<\infty \) gegebene Funktion, die den Bedingungen \[ \underset{-\infty <x<\infty }{\text{obere Grenze}}\;\frac{|\,x\,|^n}{K(x)}<\infty \qquad(n=1, 2, 3, \dots ) \] genügt. \((K, f)\) bezeichnet die Menge derjenigen stetigen Funktionen \(f\), für die \[ \lim_{x\to\pm\infty }\frac{f(x)}{K(x)}=0 \] gilt. \(K(x)\) heiße zur ersten Klasse gehörig, wenn es zu jedem \(\varepsilon \) und jeder Funktion \(f\) aus \((K, f)\) ein Polynom \(P(x)\) so gibt, daß für alle \(x\) \[ \frac{|\,f(x)-P(x)\,|}{K(x)}<\varepsilon \] wird. Ist dies nicht für jedes \(f\) der Fall, so heiße \(K\) zur zweiten Klasse gehörig. Verf. teilt folgenden Satz mit: \(\log\,K^{\ast}(x)\) sei die größte gerade Minorante von log \(K(x)\), welche für \(x> 0\) eine konvexe Funktion von \(\log\,x\) ist. Dann gehört \(K(x)\) zur ersten oder zweiten Klasse, je nachdem \[ \int\limits_{-\infty }^{\infty }\frac{\log\,K^{\ast}(x)}{1+x^2}\,dx \] konvergiert oder divergiert.
Der Beweis soll in einer späteren Arbeit ausgeführt werden. Ein Satz von Bernstein (l. c.) ist als Sonderfall in vorstehendem Satz enthalten.