Note on the formal multiplication of trigonometrical series. (English) JFM 65.0254.03

Zygmund, A.

Bull. Sém. math. Univ. Wilno 2, 52-56 (1939).

Das formale Produkt \(ST\) der trigonometrischen Reihen \(S\): \(\sum c_n\,e^{inx}\) und \(T\): \(\sum \gamma _ne^{inx}\) ist die Reihe \(\sum C_ne^{inx}\), (\(n = - \infty \),…, \(+\infty \)), mit \(C_n=\kern-4pt\sum\limits_{p+q=n}\kern-1pt c_p\gamma _q\). Über die Theorie dieser formalen Multiplikation unterrichtet des Verf. Werk Trigonometrical series (1935; JFM 61.0263.*) insbesondere Kap. 11,4. Dort wird u. a. bewiesen: Wenn \(c_n\to0\) für \(n\to\pm\infty \), wenn \(T\) die Fourierreihe einer Funktion \(\lambda (x)\) ist und wenn \(\lambda (x_0)=0\) und \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(\(R\))} \hfill \textstyle \sum\limits_{n=1}^{\infty } \varGamma _n<+\infty \;\;\text{mit}\;\;\varGamma _n=\kern-4pt\sum\limits_{|\,\nu \,|>n}^{\infty }|\,\gamma _\nu \,|,\hfill} \] so ist \(ST\) in \(x_{0}\) konvergent mit der Summe 0. Die Bedingung (\(R\)) läßt sich nicht wesentlich mildern, wohl aber, wenn über \(\lambda (x)\) schärfere Voraussetzungen gemacht werden. In dieser Hinsicht wird bewiesen:
Wenn \(c_n\to0\) für \(n\to\pm\infty \) wenn \(T\) absolut konvergiert und die Fourierreihe einer in \((a, b)\) verschwindenden Funktion ist, so konvergiert \(ST\) (und die dazu konjugierte Reihe) gleichmäßig zur Summe 0 in jedem im Innern von \((a, b)\) gelegenen Teilintervall. - Ausdehnung auf den Fall der Summierbarkeit.
In etwas anderer Richtung wird der weniger tief gelegene Satz bewiesen: Damit bei fester Reihe \(T\) das Produkt \(ST\) für jedes \(S\) mit \(c_n\to0\) in \(x_0=0\) konvergiert, ist notwendig und hinreichend, daß \(T\) absolut konvergiert, daß \(\sum\limits_{\nu }\gamma _\nu =0\), und daß die Summen \(\sum\limits_{p}\biggl|\,\sum\limits_{\nu =-n-p}^{n-p}\kern-4pt\gamma _\nu \,\biggr|\) für alle \(n\) beschränkt bleiben.

Reviewer: Knopp, K., Prof. (Tübingen)

JFM Section:

Erster Halbband. D. Analysis. 5. Reihendarstellungen reeller Funktionen. c) Fourierreihen.

Citations:

JFM 61.0263.*