×

On the Cesàro and Riesz means of Fourier series. (English) JFM 65.0262.01

Wie Verf. zum Teil schon in der vorstehend besprochenen Note ausgeführt hat, besitzen die Rieszschen Mittel Fourierscher Reihen bereits von den \(R_2\)-Mitteln ab gewisse Eigenschaften, die die Cesàroschen Mittel erst von den \(C_3\)-Mitteln ab aufweisen. Neben den im vorstehenden Referat genannten Satz wird in Analogie zu Fejérschen Sätzen über die \(C_3\)-Mittel im wesentlichen gezeigt:
(1) Ist \(0 \leqq f(x) \leqq M\) in \(0 < x < \pi\), so gilt für die \(R_2\)-Mittel \(R_n^{(2)}(x)\) der Fourierschen Sinusreihe von \(f(x)\) die Ungleichung \(0 \leqq R_n^{(2)}(x) \leqq M_n(x)\), wo \(M_n(x)\) die \(R_2\)-Mittel der Sinusentwicklung von \(M\) sind.
(2) Ist \(f(x)\) in \(0< x<\pi\) monoton, so sind die \(R_2\)-Mittel ihrer Fourierschen Cosinusreihe in demselben Sinne monoton.
Anschließend geht Verf. noch näher auf den Zusammenhang zwischen den \(C\)- und \(R\)-Mitteln beliebiger Reihen ein. Er zeigt, daß der \(C_2\)-Kern (im Sinne von K. Knopp (Math. Z. 31 (1929), 97-127; F. d. M. 55\(_{\text{II}}\), 730-731)) einer Reihe stets den \(R_2\)-Kern, umgekehrt der \(R_2\)-Kern den \(C_3\)-Kern enthält. Dagegen braucht der \(R_2\)-Kern keineswegs den \(C_2\)-Kern zu enthalten, es gilt jedoch der Satz:
Ist \(\sum\limits_{\nu} u_{\nu}\) \(R_2\)-summierbar, so ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für ihre \(C_2\)-Summierbarkeit \[ \underset{n \to \infty} {\underline{\lim}} \frac{1}{n^3} \sum_{\nu=0}^{n} (n-\nu+1) \, \nu \,u_{\nu} \geqq 0. \] Insbesondere ist \(u_{\nu} \to 0\) eine hinreichende Bedingung (vgl. das vorhergehende Referat).
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: EuDML

References:

[1] 1 L. Fejér, Gestaltliches über die Partialsummen und ihre Mittelwerte bei der Fourierreihe und der Potenzreihe [Zeitschr. f. angew. Math. u. Mech.13 (1933), 80-88]. · Zbl 0006.34503 · doi:10.1002/zamm.19330130207
[2] 2 L. Fejér, Neue Eigenschaften der Mittelwerte bei den Fourierreihen [Journal of the London Math. Soc.8 (1933), 53 - 62]. · Zbl 0006.25701 · doi:10.1112/jlms/s1-8.1.53
[3] 3 L. Fejér, A Fourier-féle sor és a hatványsor számtani közepeinek néhány uj tulajdonságáról [Matematikai és Fizikai Lapok41 (1934), 1-16].
[4] 4 L. Fejér, On new properties of the arithmetical means of the partial sums of Fourier series [Journal of Mathematics and Physics (M. I. T.) 13 (1934), 1-17]. · Zbl 0009.01206 · doi:10.1002/sapm19341311
[5] 5 M. Riesz, Sur la sommation des séries de Dirichlet [C. R. Paris149 (1909), 18-20].
[6] 6 M. Riesz, Sur l’équivalence de certaines méthodes de sommation [Proceedings of the London Math. Soc. (2) 22 (1924), 412 - 419].
[7] 7 A. Zygmund, Trigonometrical series [1935]. · Zbl 0011.01703
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.