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Abstrakte Integrale und fastperiodische Funktionen. (German) JFM 65.0266.02

Um eine Maßtheorie auf abstrakten Mengen durchzuführen, ist es, wie man unschwer einsieht, nicht einmal nötig, tatsächlich vorauszusetzen, daß man es mit Mengen zu tun hat. Verf. betrachtet statt Systemen von Mengen sogenannte \(\varSigma\)-Systeme. Ein \(\varSigma\)-System ist eine Boolealgebra, in der aber auch die Vereinigung von unendlich viel Elementen gebildet werden kann. Außerdem soll eine Maßfunktion erklärbar sein, die nur für das Nullelement gleich 0 ist. Mit ihrer Hilfe läßt sich eine Metrik im System einführen.
Es sei ein System meßbarer Mengen gegeben. Dann ist eine meßbare Funktion \(f(x)\) eine solche Funktion, für die die Mengen \(E[f(x) \leqq \lambda]=E(\lambda)\) für jedes \(\lambda\) dem System angehören. Hat man aber statt der Mengen ein \(\varSigma\)-System, so kann man gar nicht von Funktionen im gewöhnlichen Sinne sprechen. Man geht deshalb umgekehrt aus von einer Funktion \(E(\lambda)\) der reellen Zahlen, deren Werte Elemente des \(\varSigma\)-Systems sind. Man spricht dann von einer “meßbaren Funktion \(f\)”, die diese Funktion \(E(\lambda)=E[f \leqq \lambda]\) erzeugt. Die Metrik im \(\varSigma\)-System überträgt sich auch auf diese “meßbaren Funktionen”. Für solche \(\varSigma\)-Systeme und derartige meßbaren Funktionen lassen sich nun alle bekannten Sätze der Maß- und Integraltheorie herleiten, z. B. der, daß die meßbaren Funktionen einen bezüglich der erwähnten Metrik vollständigen kommutativen Ring bilden.
Es gibt Sätze in der Theorie der fastperiodischen Funktionen auf der reellen Zahlengeraden, die in der klassischen Theorie periodischer Funktionen auch auftauchen und dort mit Hilfe der Lebesgueschen Integraltheorie bewiesen werden, z. B. der Satz von Riesz-Fischer-Besicovitch und der Satz von der Existenz von Verteilungsfunktionen. In der Theorie der fastperiodischen Funktionen war es notwendig, ganz andere Beweise zu erbringen, vor allem deshalb, weil die Mittelwertbildungen nur endlich additiv sind.
Es gelingt Verf. ein \(\varSigma\)-System anzugeben, dessen zugehörige Menge meßbarer Funktionen “stetig isomorph” ist zu der Menge der Kovankoschen fastperiodischen Funktionen. Auf diese Weise kann die obenerwähnte Analogie von Sätzen über periodische und fastperiodische Funkitonen auch in den Beweisen zum Ausdruck gebracht werden.

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