Transformation of a certain series of products of confluent hypergeometric functions. Applications to Laguerre and Charlier polynomials. (English) JFM 65.0298.01

Erdélyi, A.

Compositio math., Groningen, 7, 340-352 (1939).

Verf. setzt \[ \varPhi(a, \,c, \,x)=\frac{\varGamma(a)}{\varGamma(c)} {}_1F_1(a; \,c; \,x)= \sum_{m=0}^{\infty} \frac{\varGamma(a+m)}{\varGamma(c+m)} \, \frac{x^m}{m!} \] und beweist die beiden Reihentransformationen: \[ \sum_{r=0}^{\infty} (c-a)_r \,(d-b)_r \,\varPhi(a, \,c+r, \,x) \, \varPhi(b, \,d+r, \,y) \,\frac{z^r}{r!} \tag{1} \]
\[ =e^z \sum_{r=0}^{\infty} \varPhi(a+r, \,c+r, \,x-z) \, \varPhi(b+r, \,d+r, \,y-z) \,\frac{z^r}{r!} \quad (a, \,b \neq 0,-1,-2,\ldots), \]
\[ \sum_{r=0}^{\infty} \frac{(a)_r \,(b)_r}{\varGamma(c+r) \,\varGamma(d+r)} \, {}_1F_1(a+r; \,c+r; \,x) \,{}_1F_1(b+r; \,d+r; \,y) \,\frac{z^r}{r!} \tag{2} \]
\[ =e^{-\frac{xy}{z}} \sum_{r=0}^{\infty} \frac{\left( \dfrac{xy}{z} \right)^r} {\varGamma(c) \,\varGamma(d) \,r!} {}_2F_1 \left( -r; \,a; \,c; \, -\frac{z}{y} \right) \, {}_2F_1 \left( -r; \,b; \,d; \, -\frac{z}{x} \right) \quad (z \neq 0), \] wo \((a)_r = a(a + 1) \cdots (a + r - 1)\).
Durch Anwendiuig der Kummerschen Transformation erhält Verf. andere Formen von (1) und (2). Dank der Beziehung \[ \varGamma(\alpha+m+1) {}_1F_1(-m; \, \alpha-1; \,x)=m! \, \varGamma(\alpha+1) \,L_m^{(\alpha)}(x) \] ergeben sich durch Spezialisieren der Parameter beachtenswerte Transformationen von endlichen und unendlichen Reihen von Produkten von verallgemeinerten Laguerreschen Polynomen, für die unter anderem die äußerst einfache, aber bisher scheinbar nicht beachtete erzeugende Gleichung \[ (1+w)^{\alpha} \,e^{-xw}=\sum_{n=0}^{\infty} L_n^{(\alpha-n)}(x) \,w^n \tag{3} \] angegeben wird. Bei dem Zusammenhang der Charlierschen Polynome \(p_n(x, \,a)\) mit den Laguerreschen Polynomen: \[ p_n(x, \,a)=n! \,a^{-n} \,L_n^{(x-n)}(a)=\frac{x! \,a^{-n}}{(x-n)!} {}_1F_1(-n; \,x-n+1; \,a), \tag{4} \] der sich aus (3) mittels der erzeugenden Gleichung von Doetsch (Math. Ann., Berlin, 109 (1933), 254-272; F. d. M. 59\(_{\text{I}}\), 367) unmittelbar ergibt, werden mit den obigen Reihentransformationen auch interessante Beziehungen zwischen Reihen mit Produkten von Charlierschen Polynomen gewonnen.

Reviewer: Volk, O., Prof. (Würzburg)

JFM Section:

Erster Halbband. D. Analysis. 7. Besondere Funktionen und Funktionensysteme. e) Allgemeinere hypergeometrische Funktionen.