Sur un théorème de M. Fejér. (French) JFM 65.0308.01

Zygmund, A.

Bull. Sém. math. Univ. Wilno 2, 1-12 (1939).

Der bekannte Satz von Fejér, nach dem eine Potenzreihe \(f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nz^n\) mit konvergenter \(\sum n \,|\,a_n\,|^2\) fast überall auf \(|\,z\,|=1\) konvergiert, wobei auf jedem abgeschlossenen Bogen von \(|\,z\,|=1\), auf dem \(f(z)\) stetig ist, gleichmäßige Konvergenz stattfindet, wird in der folgenden Weise lokalisiert:
Es sei \(f(z)=\sum a_nz^n\) in \(|\,z\,|<1\) regulär, und es gelte \(a_n=o(1)\). Existiert dann für einen Sektor des Einheitskreises \[ \varGamma: 0<\varrho<1, \;\; \alpha<\theta<\beta \qquad (z=\varrho e^{i \theta}) \] das Doppelintegral \[ \iint\limits_{\varGamma} |\, f'(\varrho e^{i \theta}) \,|^2 \,\varrho \, d \varrho \, d \theta, \] so ist \(\sum a_nz^n\) auf dem Bogen \((\alpha, \,\beta)\) des Einheitskreises fast überall konvergent. Ist \(f(z)\) im abgeschlossenen Sektor \(\varGamma\) stetig, so konvergiert \(\sum a_nz^n\) sogar gleichmäßig auf jedem im Innern des Bogens \((\alpha, \,\beta)\) gelegenen Bogen \((\alpha', \,\beta')\) des Einheitskreises.
Ersetzt man die Voraussetzung \(a_n = o(1)\) durch \(a_n=o(n^{\gamma})\), \(\gamma \geqq 0\), so bleibt der Satz noch richtig, wenn man nur die Behauptung der Konvergenz durch die der \((C, \,\gamma)\)-Summierbarkeit ersetzt.

Reviewer: Lösch, F., Prof. (Rostock)

JFM Section:

Erster Halbband. D. Analysis. 8. Funktionen komplexer Veränderlicher. b) Potenzreihen.