×

zbMATH — the first resource for mathematics

Vermutungen und Sätze über die Wertverteilung gebrochener Funktionen endlicher Ordnung. (German) JFM 65.0329.03
Ausgehend von einigen Bemerkungen R. Nevanlinnas und E. Ullrichs wird ein Satz vermutet, der es erlauben würde, bei gegebener Defektverteilung \(\delta (a_\varkappa )\) die Ordnung \(\mu \) der gebrochenen Funktion \(w= w(z)\) nach unten abzuschätzen: \[ \mu \geqq \frac {1}{\pi }\sum _{\varkappa =1}^q\,\text{arc cos } \bigl(1-\delta (a_\varkappa )\bigr). \] Die verschiedenen Tatsachen, die diese Vermutung stützen, werden erörtert.
Für eine gebrochene Funktion \(w(z)\) der Ordnung \(\mu <1\), die auf der imaginären Achse beschränkt ist, \(|w|\leqq 1\), genügt der Defekt \(\delta (\infty )\) bei \(w=\infty \) der Bedingung: \(\delta (\infty )\leqq 1-\cos \dfrac {\pi\mu }{2}\); es wird gezeigt, daß die Schranke von der Funktion \[ w(z)=\prod _{n=1}^\infty \frac {n^{\frac {1}{\mu }}+z}{n^{\frac {1}{\mu }}-z}, \;\;\;0<\mu <1, \] erreicht wird. Ist die gebrochene Funktion \(w(z)\) von einer Ordnung \(\mu<\frac {1}{2}\) und auf einem Strahl arg \(z=\) const beschränkt, dann gilt \(\delta (\infty) \leqq 1-\cos \pi\mu \). Als naheliegende Verallgemeinerung wird bewiesen: \(w (z)\) sei auf endlich vielen, von \(z=0\) ausgehenden Strahlen arg \(z =\) const beschränkt, \(\alpha \) der größte der Winkel zwischen zwei benachbarten Strahlen. Falls die Ordnung \(\mu \) von \(w (z)\) kleiner als \(\dfrac {\pi }{\alpha }\) ist, gilt \(\delta (\infty) \leqq 1-\cos \dfrac {\alpha\mu}{2}\).
Es wird vermutet, daß \(\delta (\infty) \leqq 1-\cos \pi\mu\) bei \(\mu <\frac {1}{2}\) auch dann noch gilt, wenn der Beschränktheitsweg für \(w (z)\) eine Kurve ist, die nach \(z=\infty \) mündet. Gestützt wird diese Vermutung durch das mit Hilfe des Verzerrungssatzes bewiesene Ergebnis: Unter den angegebenen Bedingungen gilt: \(\delta (\infty) \leqq \dfrac {1-\cos \pi\mu }{1-\varepsilon \,\cos \pi\mu }\) mit festem \(\varepsilon \), \(0\leqq \varepsilon <1\).
Das Wertverteilungsverhalten der gebrochenen Funktionen \(w(z)= \prod _{n=1}^\infty \dfrac {n^{\frac {1}{\mu }}+z}{n^{\frac {1}{\mu }}-z}\) und allgemeiner \(w(z)= \prod _{n=1}^\infty \dfrac {p_n+z}{p_n-z}\), \(0<p_1<p_2<\cdots \), \(p_n\to\infty \), wird genauer untersucht. Für \(p_n = n^{\frac {1}{\mu }}\), \(0 <\mu <1\), ist \(w (z)\) eine gebrochene Funktion mit der Charakteristik \(T (r, w)\sim \dfrac {r^\mu }{\mu \,\cos \dfrac {\pi\mu }{2}}\) und es gilt \(\delta (0) = \delta (\infty ) = 1 - \cos \dfrac {\pi\mu }{2}\) In der zugehörigen Riemannschen Fläche liegen über \(w = 0\) und \(w=\infty \) schlichte Blätter und je eine indirekte Randstelle.
Schließlich wird nachgewiesen, daß für \(w(z)= \sum _{n=0}^\infty \Bigl(\dfrac {3\cdot 4^n}{z-5\cdot 4^n}\Bigr)^{2^n} +\sum _{n=0}^\infty \Bigl(\dfrac {6\cdot 4^n}{z+10\cdot 4^n}\Bigr)^{2^n}\) der Stelle \(w=\infty \) ein positiver Defekt zukommt; \(w=\infty \) ist aber nicht Zielwert für \(w= w (z)\).

PDF BibTeX XML Cite