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Über die Lösbarkeit des Dirichletschen Problems für eine Riemannsche Fläche. (German) JFM 65.0413.02
Bei offenen abstrakt definierten Riemannschen Flächen sind die beiden Fälle möglich: Der ideale Rand \(\varGamma\) der Fläche \(F\) hat das absolute harmonische Maß Null oder positives absolutes harmonisches Maß. Im ersten Falle gibt es auf \(F\) keine nichtkonstanten beschränkten harmonischen Funktionen; die Randwertaufgabe ist also für diese Flächen unlösbar. \(F\) sei jetzt eine zur zweiten Klasse gehörige Fläche. Die gestellte Aufgabe macht es erforderlich, den idealen Rand \(\varGamma\) von \(F\) als Menge verschiedener Randstellen zu erklären, um diesen dann eine gegebene Randbelegung zuzuordnen. Dazu wird \(F\) als Überlagerungsfläche einer gegebenen offenen oder geschlossenen Fläche \(\overline F\) aufgefaßt; außerdem wird noch gefordert: a) Jeder einen Randpunkt definierenden Punktfolge \((P_n)\) auf \(F\) soll auf der Grundfläche \(\overline F\) eine Folge \((\overline P_n)\) mit mindestens einem Häufungspunkt entsprechen. b) Die Riemannsche Fläche \(F\) ist relativ zu \(\overline F\) schlicht. \(L(0, \lambda)\), \(0 \leqq < 1\), sei eine stetige Kurve auf \(F\), die für \(\lambda \to 1\) auf \(\varGamma\) endet. Wenn die Spurkurve \(\overline L\) von \(L(0,1)\) einen bestimmten Endpunkt \(\overline E\) auf der Randspur \(\overline \varGamma\) hat, dann heißt \(L\) ein Einschnitt von \(F\). Jedem solchen Einschnitt \(L\) wird ein erreichbarer Randpunkt \(E\) von \(F\) zugeordnet.
Die universelle Überlagerungsfläche \(F^\infty\) von \(F\) wird in den Kreis \(K : | z | < 1\) schlicht abgebildet. Für die gestellte Aufgabe ist es erforderlich, das Verhalten \(F^\infty \leftrightarrow K\) zu studieren. Einem Einschnitt \(L\) entspricht eine abzählbare Menge von Kurven \(L_z\), die in wohlbestimmten Punkten \(E_z\) auf \(| z | = 1\) münden; diese Endpunkte sind äquivalent nach einer Gruppe von linearen Transformationen \(S\), die \(K\) invariant lassen. Zwei Einschnitten \(L^\prime\) und \(L^{\prime\prime}\) auf \(F\) entsprechen Bildkurvenklassen \((L^\prime_z)\), \((L_z^{\prime\prime})\) und Endpunktklassen \((E_z^\prime)\), \((E_z^{\prime\prime})\). Die Endpunktklassen sind dann und nur dann identisch, wenn \(L^\prime\) und \(L^{\prime\prime}\) den gleichen erreichbaren Randpunkt \(E\) von \(F\) definieren.
Die Sätze über die Ränderzuordnung gestatten nun, die Begriffe des harmonischen Maßes und der harmonischen Maßbarkeit einer Menge von erreichbaren Randpunkten \((E)\) der Fläche \(F\) einzuführen. Wenn \((E_z)\) die Menge der Punkte bedeutet, die den erreichbaren Randpunkten von \(\varGamma\) entsprechen, so gilt der Satz: \((E_z)\) hat das Lebesguesche Maß Null oder \(2\pi\), je nachdem \(\varGamma\) vom absoluten harmonischen Maß Null ist oder absolutes positives Maß hat. Eine Menge \((M)\) erreichbarer Randpunkte heißt “harmonisch meßbar”, wenn die Bildpunktmenge \((M_z)\) im Lebesgueschen Sinne meßbar ist. Das harmonische Maß \(\omega(z, M_z, K)\) ist bezüglich \(S\) automorph. Beim Übergang \(K\to F^\infty \to F\) transformiert sich \(\omega\) in eine Funktion \(\omega(P, M, F)\), die auf \(F\) harmonisch und im großen eindeutig ist. \(\omega (P, M, F)\) wird definiert als das harmonische Maß der Randpunktmenge \(M\), gemessen im Punkte \(P\) in bezug auf \(F\).
Es besitze nun der ideale Rand \(\varGamma\) von \(F\) positives harmonisches Maß. Jedem erreichbaren Randpunkt \(E\) von \(\varGamma\) sei ein reeller Wert \(f(E)\) zugeordnet, wobei \(f(E)\) harmonisch meßbar ist. Dann wird mit Hilfe der Funktion \(\omega (P, M, F)\) das Poisson-Fatousche Integral auf \(F\) übertragen und führt so zu einer Lösung der Randwertaufgabe in allgemeinster Fassung.

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