Familles de Perron et problème de Dirichlet. (French) JFM 65.0418.03

Brelot, M.

Acta Litt. Sci. Univ., Szeged, Sect. Sci. math. 9, 133-153 (1939).

In der Hauptsache ein Bericht über die bekannte Lösungsmethode des ersten Randwertproblems für \(\varDelta u = 0\) durch die obere Grenze \(u\) der subharmonischen Unterfunktionen bzw. die untere Grenze \(U\) der superharmonischen Oberfunktionen, mit kurzen Beweisskizzen. Neben den Sätzen von Perron werden insbesondere auch die Sätze von N. Wiener über seine verallgemeinerte Lösung dargestellt. – Sodann folgt eine Ausdehnung der Untersuchung, indem bei subharmonischen Funktionen auch der Funktionswert \(-\infty\) zugelassen und nur Halbstetigkeit nach oben verlangt wird; analog für superharmonische Funktionen. Jetzt kann als Randwert auch \(\infty\) und \(-\infty\) zugelassen werden, und es ergibt sich unter anderem, daß die auf ein Gebiet und vorgegebene Randwerte bezüglichen subharmonischen Unterfunktionen, falls es solche gibt, eine obere Grenzfunktion haben, die gleich \(\infty\) oder harmonisch ist. Zum Schluß wird die Dirichletsche bzw. Wienersche Lösung als lineares Funktional der Randwerte noch mittels eines Lebesgue-Stieltjesschen Integrals dargestellt.

Reviewer: Perron, O., Prof. (München)

JFM Section:

Erster Halbband. D. Analysis. 12. Differentialgleichungen der mathematischen Physik und Potentialtheorie. b) Subharmonische Funktionen.