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Sur les minorantes sous-harmoniques d’une fonction donnée. (French) JFM 65.0421.01
\(9^{\text{me}}\) Congr. Math. Scand. 1938, 309-319 (1938).
Es sei \(f(z)\) eine reelle, meßbare Funktion in einem Gebiet \(D\) der \(z\)-Ebene; \((u,f)\) bezeichne die Klasse der subharmonischen Minoranten von \(f\) in \(D\). Verf. stellt die Frage nach der Existenz einer größten Minorante dieser Klasse auf und beweist, daß es eine solche gibt, wenn \(f(z)\) stetig und nach unten beschränkt ist. Für Funktionen, die in einem von einer Jordankurve begrenzten Gebiet gleichmäßig stetig sind, gibt Verf. einen elementaren Beweis, der sich auf die Eigenschaften der konformen Abbildung stützt. Verf. untersucht weiter unter Anwendung der Methoden von T. Carleman (Ark. Mat, Astron. Fysik 15 (1921) Nr. 10; F. d. M. 48, 334 (JFM 48.0334.*)) und A. Beurling (Diss. Uppsala 1933; F. d. M. \(59_{\text{II}}\), 1042), welchen Bedingungen eine nach unten beschränkte Funktion \(f\) unterliegen muß, damit die Klasse \((u,f)\) nach oben beschränkt sei.