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Functional topology and abstract variational theory. (English) JFM 65.0457.05

Mém. Sci. math. 92, 78 S. (1939).
Verf. entwickelt unter Ausführung der Beweise die zuerst in Proc. nat. Acad. Sci. USA 24 (1938), 326-330 (F. d. M. \(64_{\text{II}}\)) kurz mitgeteilte neue Fassung seiner Theorie der kritischen Punkte und ihre Anwendung auf die Variationsrechnung. Zugrunde liegt ein metrischer Raum \(M\), auf dem eine reelle Funktion \(F\) mit \(0\leqq F\leqq 1\) definiert ist. Aus der Einleitung des Verf. seien die folgenden Stellen zitiert:
“Die Theorie ruht auf zwei Voraussetzungen, die bezüglich als die “\(F\)-accessibility” von \(M\) und die “upper-reducibility” von \(F\) bezeichnet werden”.
“\(H\) sei eine \(k\)-dimensionale Homologieklasse. Die “\(F\)-acc.” hat zur Folge, daß die Zahlen \(b\), für welche die Teilmenge \(F\leqq b\) von \(M\) einen \(k\)-Zykel von \(M\) enthält, ein Minimum besitzen (als “Zykelgrenze” bezeichnet). Die “upp.-red.” von \(F\) bewirkt dann, daß die Zykelgrenze von \(F\) in einem topologisch kritischen Punkt angenommen wird.”
Im folgenden sei die frühere Arbeit des Verf. in Ann. math., Princeton, (2) 38 (1937), 386-449 (F. d. M. \(63_{\text I}\), 478) als (A) zitiert.
Verf. wiederholt und ergänzt im ersten Teil die in (A) gegebene topologische Grundlegung. Es folgt die Definition der “\(F\)-acc.”: jeder nicht begrenzende \(k\)-Zykel, der mod \(F\leqq c + e\) (für jedes \(e > 0\)) homolog Null ist, soll einem \(k\)-Zykel auf \(F\leqq c\) homolog sein. Dann wird die vom Verf. in (A) gegebene Rangtheorie für Abelsche Operatorgruppen dargestellt und teilweise neu formuliert. Es folgt der Beweis, daß die “\(F\)-acc.” gesichert ist, falls alle Mengen \(F\leqq c < 1\) kompakt sind. Der erste Teil schließt mit der Angabe einer Bedingung, unter der die Dimensionen aller Homologiegruppen von \(F < 1\) höchstens abzählbar sind.
In Teil II wird die Theorie der kritischen Punkte entwickelt. Ihre topologische Definition erfolgt wie in (A) mit Hilfe der “\(F\)-Deformationen”, über die neue Sätze bewiesen werden. Dann folgt die Definition der “upp.-red.”: eine Funktion \(F\) heißt “upper-reducible” in \(p\), wenn zu jedem \(c> F (p)\) eine \(F\)-Deformation einer Relativumgebung von \(p\) bezüglich \(F\leqq c\) existiert, welche diese Umgebung in eine Menge überführt, auf der \(F < c' < c\). Nachdem hieraus die eingangs zitierte Folgerung abgeleitet ist, werden kritische Mengen und ihre “Typenzahlen” betrachtet, deren Zusammenhang mit den Bettischen Zahlen von \(F < 1\) den Hauptsatz dieser Theorie ausmacht. Sie sind als Dimensionen gewisser Abelscher Gruppen definiert (Gruppen von “\(k\)-Kappen”, dieser Begriff schon in (A), S. 408). Die Anwendungen dieser Ergebnisse auf das Normalenproblem einer Mannigfaltigkeit im Euklidischen Raum und die “kritischen” Sehnen einer zur Kugel homöomorphen Mannigfaltigkeit werden kurz erörtert.
Teil III gibt die Anwendung auf die Variationsrechnung. Es wird ein zusammenhängender metrischer Raum \(\varSigma\) betrachtet und neben seiner Distanzfunktion \(pq\) eine zweite, im allgemeinen unsymmetrische positive Distanz \([p\;q]\) eingeführt, mit deren Hilfe die “\(I\)-Länge” von Kurven (als Verallgemeinerung der Integrale in der Variationsrechnung) definiert wird. Untersucht wird der “Raum” \(\varOmega(a, b)\) der Kurven, die zwei feste Punkte \(a\), \(b\) verbinden. Es wird gezeigt, daß in \(\varOmega(a,b)\) die beiden Voraussetzungen der Theorie erfüllt sind, wenn man die folgenden Annahmen macht: a) der Raum \(\varSigma\) ist “endlich \(I\)-kompakt”, d. h. für jeden Punkt \(p\) und jedes \(c\) ist die Menge aller \(q\) mit \([pq]\leqq c\) kompakt; b) \(\varSigma\) ist “lokal \(I\)-konvex”, d. h. es gibt auf \(\varSigma\) eine stetige Funktion \(\varrho(p)> 0\), so daß für \(q\neq p\) und \([pq]\leqq\varrho(p)\) \(p\) mit \(q\) durch einen “geraden” Bogen verbunden werden kann, dessen Teilbogen ebenfalls “gerade” sind. Dabei sind die “geraden” Bogen (nach Menger) durch die Eigenschaft \[ [pr] + [rq] = [pq] \] für jeden Punkt \(r\) des Bogens definiert. Kritische Punkte von \(I\) in \(\varOmega(a, b)\) definieren dann die “homotopischen” Extremalen. Bezeichnet man als “metrische” Extremalen die Kurven, deren genügend kleine Teilbogen “gerade” sind, so kann man beweisen: jede homotopische Extremale ist eine metrische. Die allgemeine Theorie liefert dann die Existenz mindestens einer homotopischen und somit auch metrischen Extremale zu jeder Zykelgrenze (s. o.) von \(I\) auf \(\varOmega\).
Zum Schluß wird ein definites Lagrangeproblem ohne Nebenbedingungen auf einer regulären dreimal stetig differenzierbaren Mannigfaltigkeit betrachtet. Hier läßt sich das Indextheorem und der schon in (A) S. 448 bewiesene Satz über die Typenzahlen eines Extremalenbogens beweisen, dessen Endpunkte nicht konjugiert sind. Ist die betrachtete Mannigfaltigkeit homöomorph der \(m\)-dimensionalen Kugel, und sind \(a\), \(b\) auf keiner Extremale durch \(a\) konjugiert, so gibt es für jedes \(k\equiv 0\;(\text{mod} \;m - 1)\) mindestens einen Extremalenbogen, der \(a\) mit \(b\) verbindet und \(k\) zu \(a\) konjugierte Punkte enthält.

Full Text: EuDML