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The ergodic theorem. (English) JFM 65.0516.04
Es sei \(T^\lambda\) eine (in gewissem Sinne meßbare) Schar von maßtreuen Abbildungen einer meßbaren Menge \(S\) in sich; \(T^\lambda T^\mu=T^{\lambda+\mu}\). Ist \(f(P)\) eine auf \(S\) definierte Funktion von der Lebesgueschen Klasse \(L^2\), so existiert nach dem von Neumannschen Ergodensatze eine Funktion \(f_1(P) \in L^2\) derart, daß \[ \int\limits_S\Bigl|f_1(P) - \frac 1N\int\limits_0^Nf(T^\lambda P)\,d\lambda\Bigr|^2dm \to 0 \quad \text{für} \quad N \to \infty. \] Verf. gibt für diesen Satz einen neuen Beweis. Dann stellt er den folgenden neuen Satz auf: Es sei \(f(P) \in L\), \(f(P) \geqq 0\), und es sei \(f^*(P)= \operatornamewithlimits{obere \;Grenze}\limits_{0<A<\infty} \dfrac 1A\int\limits_0^Af(T^\lambda P)\,d\lambda\). Es sei \(\alpha\) eine positive Zahl, und man setze \(E_\alpha\) bzw. \(E_\alpha^*\) für die Menge, für die \(f(P)\) bzw. \(f^*(P) \geqq \alpha\) ist. Dann gilt: \[ \operatorname{\text{Maß}} \;E_\alpha^*\leqq \frac 1\alpha\int\limits_S f(P)\,dm \quad \text{und} \quad \operatorname{\text{Maß}} \;E_\alpha^* \leqq \frac 2\alpha\int\limits_{E_{\tfrac \alpha 2}}f(P)\,dm. \] Wenn \(f(P) \in L^p\) (\(p> 1\)), dann auch \(f^*(P) \in L^p\); wenn \(\int\limits_Sf(P)\log^+f(P)\,dm < \infty\), dann \(f^*(P) \in L\). Es wird weiter gezeigt, wie aus diesem Satze (mit Hilfe des von Neumannschen Ergodensatzes) der Birkhoffsche Ergodensatz: “zu \(f(P)\in L\) gibt es ein \(f_1(P)\in L\) so, daß \[ f_1(P)=\lim_{N\to \infty}\frac 1N\int\limits_0^N f(T^\lambda P)\,d\lambda \] für alle \(P\) außer einer Nullmenge gilt” und der folgende Satz “ist \(f(P) \in L\), so gilt die Gleichung \[ f(P)=\lim_{\varepsilon\to 0}\frac 1\varepsilon \int\limits_0^\varepsilon f(T^\lambda P)\,d\lambda \] für alle \(P\) außer einer Nullmenge” folgen. Alle diese Sätze und ihre Beweise lassen sich auch auf den Fall übertragen, daß \(T^\lambda\) durch eine \(n\)-parametrige Schar \(T_1^{\lambda_1}T_2^{\lambda_2} \cdots T_n^{\lambda_n}\) von maßtreuen Abbildungen von \(S\) in sich ersetzt wird. So wird unter anderem die folgende, zuerst von Dunford erhaltene Verallgemeinerung des von Neumannschen Ergodensatzes neu bewiesen: Ist \(f(P) \in L^2\), so gibt es ein \(f_1(P) \in L^2\) derart, daß \[ \int\limits_S\Bigl|f_1(p)-\frac 1{\varLambda^n K_n} \operatornamewithlimits{\int\cdots\int}\limits_{\sum \lambda_k^2\leqq \varLambda}f(T_1^{\lambda_1}\cdots T_n^{\lambda_n}P)\,d\lambda_1 \cdots d\lambda_n\Bigr|^2\,dm \to 0 \] für \(\varLambda \to \infty\) (\(K_n\) bezeichnet das Volumen der \(n\)-dimensionalen Einheitskugel) (vgl. N. Dunford, Duke math. J. 5 (1939), 635-646).

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