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Zur Interpolationstheorie der reellen periodischen Funktionen. (German) JFM 65.0543.01
Da man bei empirischen Funktionen von vornherein keine Entscheidung über Stetigkeit und Differenzierbarkeit treffen kann, ist man gezwungen hierüber, irgendwelche Annahmen zu machen. In der vorliegenden Arbeit wird nun untersucht, wie bei der harmonischen Analyse die Annäherung des trigonometrischen Ausdruckes an die gegebene Funktion und die Größenordnung der Fourierkonstanten von diesen Annahmen abhängt. Die Berücksichtigung dieser Annahmen erreichen die Verf. dadurch, daß sie die gegebene Funktion durch eine Näherungsfunktion mit den entsprechenden Eigenschaften ersetzen. Sie entwickeln damit von C. Runge gegebene Ansätze zu einer allgemeinen Interpolationstheorie der reellen periodischen Funktionen. Zunächst behandeln sie die für die Anwendungen wichtigsten drei Fälle, in denen \(f(x)\), \(f'(x)\) bzw. \(f''(x)\) als stetig vorausgesetzt werden. Im ersten Fall wird die gegebene Kurve durch einen Geradenzug ersetzt, der in den Intervallendpunkten und in \(m - 1\) Zwischenpunkten mit dieser Kurve übereinstimmt. Für den Fall der Annäherungsfunktion mit stetiger Ableitung wird von den verschiedenen Möglichkeiten nur die für ungerade \(m\) verfolgt, bei der die Kurve in jedem Teilintervall durch eine Parabel zweiter Ordnung ersetzt wird, die an den Enden des Teilintervalles durch die gegebenen Punkte geht, und die so bestimmt ist, daß in den aneinanderstoßenden Intervallenden die Tangenten zusammenfallen. Soll auch die zweite Ableitung stetig sein, werden Parabeln dritter Ordnung durch die Endpunkte des Teilintervalles gewählt, die in den aneinanderstoßenden Intervallenden in der ersten und zweiten Ableitung übereinstimmen, und die der Forderung der Periodizität genügen. Behandelt wird hier der Fall, daß \(m\) gerade ist. In jedem Fall werden die Abschätzungen der erzielten Näherung an die gegebene Funktion und die des Unterschiedes zwischen den exakten Werten der Fourierkoeffizienten und den berechneten Näherungswerten durchgeführt. Am Schluß eines jeden Abschnittes wird für ein bestimmtes \(n\) eine Tabelle der Abminderungsfaktoren gegenüber den durch trigonometrische Interpolation gewonnenen Konstanten gegeben und als Beispiel eine Funktion analysiert, die jeweils die gleichen Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften hat wie die Annäherungsfunktion. Ein Vergleich mit den exakten Koeffizienten und mit den Ergebnissen der trigonometrischen Interpolation zeigt, daß man hier durch obige Methoden wesentlich genauere Werte erhält als durch die übliche Interpolation.
Im letzten Abschnitt wird in der gleichen Weise der allgemeine Fall betrachtet, bei dem die \(k\)-te Ableitung von \(f(x)\) als stetig vorausgesetzt wird, und weiter wird die beliebig oft differenzierbare Funktion behandelt. Betrachtet man in diesem Fall die Folge der in der eben beschriebenen Art gebildeten Annäherungsfunktionen \(g(x)\) für wachsende \(k\), so konvergieren für \(k\to\infty \) die Fourierkonstanten von \(g(x)\) gegen die Konstanten des trigonometrischen Interpolationsausdruckes und die Annäherungsfunktionen selbst gegen diesen Ausdruck. Ein am Schluß gegebenes Beispiel zeigt, daß man zu sehr verschiedenen Näherungswerten der Fourierkonstanten für ein und dieselbe empirische Funktion je nach dem angewandten Verfahren kommt, so daß man zur Erzielung möglichst guter Näherungen die Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften der zu analysierenden Funktion berücksichtigen muß.

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