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The distribution of the maxima of a random curve. (English) JFM 65.0555.01

Die Gleichung \(y = F(a_1, a_2,\ldots, a_n; x)\) definiert in der \(x, y\)-Ebene eine Kurve; die Parameter \(a_1,\,\ldots,\,a_n\) seien dabei stochastische Veränderliche mit bekannten Verteilungsgesetzen, insbesondere sei die Wahrscheinlichkeitsdichte \(P (\xi, \eta, \zeta)\) dafür, daß \(F=\xi\), \(\dfrac{\partial F}{\partial x} = \eta\), \(\dfrac{\partial^2 F}{\partial x^2}=\zeta\) ist, in allen drei Veränderlichen stetig. Unter einigen Differenzierbarkeits- und Beschränktheitsvoraussetzungen über \(F\) gilt folgender Satz: Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Kurve ein Maximum im Rechteck \((x_0, x_0 + dx_0; y_0, y_0+ dy_0)\) bei gleicher Größenordnung von \(dx_0\) und \(dy_0\) besitzt, ist \(p(x_0, y_0)\,dx_0dy_0\) mit \[ p(x_0,y_0) = -\int\limits_{-\infty}^0 P(y_0,0,\zeta)\zeta\, d\zeta. \]
Der elementare Hauptteil des Beweises besteht in der Aufstellung von drei notwendigen Bedingungen für das Vorliegen eines Maximums in dem fraglichen Rechteck, sowie von drei hinreichenden Bedingungen, die sich von den notwendigen nur um Größen zweiter Ordnung unterscheiden. Die Wahrscheinlichkeit für das Erfülltsein jeder dieser beiden Gruppen von drei Bedingungen läßt sich dann leicht anschreiben und führt nach leichter Umformung zu dem angegebenen Resultat.
Verf. bemerkt, daß das Resultat auch unter weit allgemeineren Voraussetzungen, als er zum Beweise benutzt, richtig sein muß. Als Beispiel bringt er \(y = a_0 + 2a_1 x + a_2 x^2\), wo die \(a_\nu\) Gaußschen Gesetzen gehorchen. Für dieses Beispiel sind die Beschränkheitsvoraussetzungen nicht erfüllt.
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