Sur les sommes d’un grand nombre de variables aléatoires indépendantes. I, II. (French) JFM 65.0558.01

Doeblin, W.

Bull. Sci. math. (2) 63, 23-32 (1939); 63, 35-64 (1939).

Betrachtet wird ein System stochastischer Veränderlicher \[ \begin{matrix} x_{11}\\ x_{21}&x_{22}\\ \vdots\\ x_{n1}&x_{n2}&\cdots&x_{nn}\\ \vdots& & & &, \end{matrix} \] wo die Größen einer Zeile unabhängig seien. Es wird \(S_n =\sum\limits_{k=1}^n x_{nk}\) gesetzt.
Note I beschäftigt sich mit dem schwachen Gesetz der großen Zahlen. Sei \(b_n\) eine monoton nach \(\infty\) wachsende Zahlenfolge. Notwendig und hinreichend dafür, daß die Dispersion von \(\dfrac{S_n}{b_n}\) (im Sinne von P. Lévy) für jede Wahrscheinlichkeit \(\alpha < 1\) nach Null strebt, sind die Bedingungen: \[ \begin{gathered} \sum_{k=1}^n \mathfrak W\{|x_{nk}|>b_n\}\to0,\tag{1}\\ \sigma_n^2=\frac1{b_n^2}\sum_{k=1}^n\left\{ \int\limits_{-b_n}^{b_n} x^2\,dF_{nk}(x)- \left[\int\limits_{-b_n}^{b_n} x\,dF_{nk}(x) \right]^2\right\}\to 0; \tag{2} \end{gathered} \] dabei bedeutet \(F_{nk}(x)\) die Verteilung von \(x_{nk}\).
Note II beweist folgendes Theorem: Die \(x_{nk}\) seien einzeln gegen \(D_n(\alpha)\) vernachlässigbar, d. h. es sei \(\lim\limits_{n\to\infty} \mathfrak W \{| x_{nk} |\geqq \eta D_n(\alpha)\} = 0\) für jedes \(\eta > 0\). Es sei \[ a_n= \sum_{k=1}^n\int\limits_{-\infty}^\infty \frac x{1+x^2}\, dF_{nk}(x), \] \(H_n^\prime(x)\) die Verteilung von \(\dfrac{S_n-a_n}{D_n(\alpha)}\), \(G_n(x)\) die Verteilung des unbeschränkt zerlegbaren Gesetzes mit der charakteristischen Funktion \[ \begin{gathered} \exp\left\{-\sigma_n^2t^2+ \int\limits_{-\infty}^\infty \left[ e^{itx}-1-it \frac x{1+x^2}\right]\,dL_n(x)\right\}\\ \text{mit}\quad \sigma_n^2=\frac1{D_n^2(\alpha)} \sum_{k=1}^n\left\{ \int\limits_{-\eta_n D_n(\alpha)}^{\eta_n D_n(\alpha)} x^2\, dF_{nk}(x)\left[\int\limits_{-\eta_n D_n(\alpha)}^{\eta_n D_n(\alpha)} x\, dF_{nk}(x) \right]^2\right\}\\ \text{und}\quad L_n(x)=\sum_{k=1}^n \int\limits_{-\infty}^{xD_n(\alpha)} dF_{nk}(x). \end{gathered} \]
Dann gibt es eine positive Zahlenfolge \(\varDelta_n \to 0\), derart daß für jedes \(x\) \[ G_n(x-\varDelta_n) - \varDelta_n \leqq H_n'(x) \leqq G_n(x +\varDelta_n) + \varDelta_n \] ausfällt.
Dieses Theorem wird zum Beweis im wesentlichen bekannter Sätze herangezogen, z. B. zur Aufstellung einer notwendigen und hinreichenden Bedingung dafür, daß die Summenverteilung einem Gaußschen Gesetz zustrebt.

Reviewer: Iglisch, R., Prof. (Braunschweig)

JFM Section:

Erster Halbband. E. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Anwendungen. 1. Wahrscheinlichkeitsrechnung. c) Grenzwertsätze.