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Zur Geometrie der Polygone, Polyeder und Polytope in linearen Räumen beliebiger Stufe bei euklidischer und nichteuklidischer Maßbestimmung. (German) JFM 65.0666.03

Verf. ergänzt und verallgemeinert einige von F. Schönhardt aufgestellte Sätze (Deutsche Math. 2 (1937), 446-451; F. d. M. \(63_{\text I}\), 584) in verschiedenen Richtungen unter Verwendung der Punktrechnung. Z. B. wird der Satz \((A)\), daß die Summe der senkrechten Projektionen eines Vektors \(\mathfrak v\) auf die Seiten eines mit ihm in einer Ebene liegenden regelmäßigen \(n\)-Ecks den Vektor \(\dfrac n2\mathfrak v\) ergibt, dahin ergänzt, daß bei Auffassung der Projektionen als Kräfte die Resultante dieser Kräfte im Mittelpunkt des \(n\)-Ecks angreift. Wie Verf. zeigt, gilt dasselbe auch im Falle \((B)\) der Projektionen eines Vektors auf die Kanten eines regelmäßigen Körpers, während im Falle \((C)\) der Projektionen auf die Seitenflächen des Körpers die Wirkungslinie der Resultante in der Mitte zwischen \(\mathfrak v\) und dem Mittelpunkt gelegen ist. Die in der genannten Arbeit ausgesprochene Vermutung, daß die Summe der Projektionen von \(\mathfrak v\) auf die \(k\) Kanten eines regelmäßigen Polytops im \(d\)-dimensionalen Raum gleich \(\dfrac kd\mathfrak v\) ist, wird bestätigt \((D)\). Verf. projiziert auch statt \(\mathfrak v\) einen Punkt \(P\) und findet, daß der Schwerpunkt der Projektionen, wenn mit \(M\) der Mittelpunkt des regelmäßigen Gebildes bezeichnet wird, in den Fällen \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) auf \(MP\) liegt und diese Strecke im Verhältnis \(1:1\) bzw. \(1:2\) bzw. \(2:1\) bzw. \(1:(d-1)\) teilt. Entsprechende Sätze werden ferner über die Projektionen eines “Blatts” aufgestellt.
Schließlich wird der Satz 5 der genannten Arbeit, wonach die Summe der in Richtung der Schwerlinien genommenen Projektionen von \(\mathfrak v\) auf die Seiten eines Dreiecks \(\frac 32\mathfrak v\) ist, verallgemeinert, indem an die Stelle des Dreiecks ein Simplex mit \(n\) Ecken im \(d\) (\(= n -1\))-dimensionalen Raum und an die Stelle der Dreiecksseiten dessen \((d -1)\)-dimensionalen Seitenräume gesetzt werden, während statt der Schwerlinien die von irgendeinem Punkt \(P\) aus gezogenen Ecktransversalen verwendet und statt Vektoren Punkte, Stäbe, Blätter, Polygone und Kurven projiziert werden. Den Gegenstand weiterer Betrachtungen bilden Projektionen parallel zu den Verbindungsebenen von \(P\) mit den Kanten auf die “Gegenräume” der Kanten (und umgekehrt).
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