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Le Superficie razionali. (French) JFM 65.0714.03
XV + 554 p. Bologna, Nicola Zanichelli (1939).
Das auf eine reiche Lehrerfahrung aufgebaute Buch entwickelt die Theorie der rationalen Flächen in zwei Hauptteilen. Der erste, “Die rationalen Flächen der niedrigsten Ordnungen”, behandelt die Flächen zweiter bis vierter Ordnung nach einem einheitlichen Plan. Ausgangspunkt ist die ebene Abbildung der Fläche. Die möglichen rationalen Flächen vorgegebener Ordnung entstehen aus allen möglichen Kurvensystemen der Ebene, die als Bilder der ebenen Schnitte der Fläche auftreten können. Zeigt sich, daß das zugrunde gelegte Kurvensystem unvollständig ist, so ist die Fläche eine Projektion einer normalen Fläche aus einem höheren Raume. Diese wird genauer untersucht, und durch ihre Projektion von verschiedenen Zentren aus entstehen die Flächen der betreffenden Ordnung mit allen ihren Ausartungen. Oft wird einem Kapitel ein historischer Rückblick beigegeben. Bei jeder sich bietenden Gelegenheit werden Begriffe aus der Theorie der linearen Kurvensysteme und Punktgruppen Schritt für Schritt eingeführt und vertieft, so daß zugleich eine gut lesbare, durch den Zusammenhang mit der Theorie der Flächen besonders anschauliche und durch Beifügung aufschlußreicher Beispiele interessante Einführung in diese Theorie entsteht.
Im Einzelnen ist Kap. 1 der Abbildung der Fläche zweiter Ordnung auf die Ebene gewidmet und entwickelt mit ihrer Hilfe die Lehre von den auf der Fläche gelegenen Kurven und die Theorie der quadratischen Transformationen im Raume. Kap. 2 beginnt mit der Projektion der Fläche dritter Ordnung mit Doppelpunkt von diesem Doppelpunkt aus auf eine Ebene. Durch Verallgemeinerung entsteht die Abbildung der allgemeinen Fläche dritter Ordnung, und diese liefert die siebenundzwanzig Geraden der Fläche. Die ebene Abbildung der Fläche wird dann noch an Hand ihrer Erzeugung mittels dreier projektiver Bündel entwickelt und auch durch windschiefe Projektion hergestellt. Anwendungen beziehen sich auf die Bestimmung der auf der Fläche gelegenenen Kurven und die Diskussion spezieller Flächen dritter Ordnung. Kap. 3 behandelt die kubische Regelfläche (Haupttangentenkurven, automorphe projektive Transformationen), insbesondere die Cayleysche Regelfläche, und zeigt, wie der Begriff des unvollständigen Kurvensystems über den Begriff des vollständigen Kurvensystems notwendig zur normalen Regelfläche dritter Ordnung des \(R_4\) führt, durch deren Projektion jede Regelfläche dritter Ordnung des \(R_3\) gewonnen werden kann. Kap. 4 beginnt mit der Frage nach allen rationalen Flächen vierter Ordnung und führt dabei die Begriffe einfache und zusammengesetzte Kurvenschar ein. Die systematische Beantwortung gibt zunächst die Steinersche und die Veronesesche Fläche, aus der die Steinersche Fläche durch Projektion entsteht. Kap. 5 behandelt die Regelflächen vierter Ordnung mit einer doppeltzählenden kubischen Raumkurve oder einer dreifach zählenden Geraden sowie die normale rationale Regelfläche des \(R_5\), Kap. 6 die Fläche vierter Ordnung mit einem doppeltzählenden Kegelschnitt, ihre Transformation in eine Fläche dritter Ordnung, ihre sechszehn Geraden. Die Fläche entsteht durch Projektion des Durchschnitts zweier quadratischer Mannigfaltigkeiten im \(R_4\). In Kap. 7 wird die Fläche vierter Ordnung mit Doppelgerade, in Kap. 8 werden die Flächen vierter Ordnung mit einem einzigen singulären Punkt untersucht.
Während im ersten Teile des Buches die Rationalität einer Fläche bis zur vierten Ordnung aus der Möglichkeit ihrer ebenen Abbildung abgeleitet wurde, beginnt der zweite Teil “Allgemeine Theorie der rationalen Flächen. Historische Entwicklung und systematische Darstellung” damit, allgemeine Kriterien für die Rationalität einer Fläche zu geben. Kap. 1 beweist den Satz von Noether: Flächen mit einem Büschel rationaler Kurven sind rational. Kap. 2 behandelt die Sätze von Picard und Kronocker-Castelnuovo über die Rationalität der Flächen mit rationalen ebenen Schnittkurven und die Ausdehnung dieser Sätze auf Flächen des \(R_n\) durch Del Pezzo. In Kap. 3 wird gezeigt, daß auch die Flächen mit ebenen elliptischen Schnittkurven rational sind, soweit es sich nicht um Regelflächen handelt. Es folgen die normalen Flächen \(F_n^n\) des \(R_n\) (Flächen von Del Pezzo) und ihre ebenen Bilder. Im Zusammenhang mit der Theorie der Flächen wird am Ende der Kap. 2 und 3 die Reduktion der linearen Systeme rationaler bzw. elliptischer Kurven der Ebene auf lineare Systeme von Kurven möglichst niedriger Ordnung durchgeführt. In Kap. 4 werden die Involutionen zweiten Grades der Ebene untersucht. Es wird gezeigt, daß jede solche Involution zu einer involutorischen Cremonatransformation gehört, und daß diese ein lineares Kurven system in Ruhe läßt. Dieses kann, wie ein vorher bewiesenes Lemma zeigt, auf einen der drei folgenden Typen zurückgeführt werden: Ein vollständiges lineares System von mindestens \(\infty^1\) rationalen Kurven, ein vollständiges lineares System von mindestens \(\infty^2\) elliptischen Kurven oder ein vollständiges lineares System von \(\infty^3\) Kurven vom Geschlechte 2 und vom Grade 4. So ergibt sich eine Klassifikation der Involutionen zweiten Grades gegenüber birationalen Transformationen. Die einzelnen Typen dieser Involutionen werden ausführlich behandelt (Involutionen von De Jonquières, Bertini, Geiser). Bildet man die Punktepaare einer Involution in einer ersten Ebene auf die Punkte einer Bildebene ab, so entsteht eine \([1, \,2]\)-Korrespondenz zwischen den beiden Ebenen; die Bildebene wird eine Doppelebene. Kap. 5 beschäftigt sich mit den rationalen Doppelebenen, die durch Abbildung der verschiedenen Typen von Involutionen zweiten Grades entstehen. Diese drei vom Standpunkte der Geometrie der Cremonatransformationen aus verschiedenen Typen unterscheiden sich dadurch, daß die Verzweigungskurve durch birationale Transformation entweder auf eine Kurve der Ordnung \(2n\) mit einem \((2 n - 2)\)-fachen Punkt oder eine Kurve vierter Ordnung oder eine Kurve sechster Ordnung mit zwei unendlich benachbarten dreifachen Punkten gebracht werden kann. Umgekehrt wird auch gezeigt, daß alle Doppelebenen mit Verzweigungskurven dieser Art, von Ausartungen abgesehen, rational sind, und es wird schließlich ein allgemeines, notwendiges und hinreichendes Kriterium dafür abgeleitet, daß eine Kurve \(C_{2n}\) Verzweigungskurve einer rationalen Doppelebene sein kann. Kap. 6 gibt neue, bemerkenswerte Typen rationaler Flächen, hauptsächlich Flächen fünfter Ordnung, Flächen mit hyperelliptischen ebenen Schnitten oder Schnitten vom Geschlechte 2 oder 3 und Flächen mit unendlich vielen automorphen projektiven Transformationen. Das 7. Kap. liefert einen vom Verf. in seinem ersten Teile vereinfachten Beweis für einen Satz von Castelnuovo: Ist \(x = x (u, \,v)\) die Parameterdarstellung einer rationalen Fläche, so kann es vorkommen, daß jedem Punkte der Fläche nicht ein Punkt, sondern ein System von \(n\) Punkten der Ebene \((u, \,v)\) entspricht; und es entsteht so in dieser Ebene eine Involution \(n\)-ten Grades. Umgekehrt zeigt der Satz von Castelnuovo (das räumliche Analogon zum Satze von Lüroth), daß die Bildfläche jeder Involution \(n\)-ten Grades rational ist. Das Buch schließt mit der Charakterisierung der rationalen Flächen durch das Verschwinden von Geschlechtszahlen.
Das Werk ist im Verhältnis zu der Schwierigkeit seines Gegenstandes leicht zu lesen. Der Leser wird mit dem Verf. die Freude teilen, an interessanten Beispielen allgemeine Sätze zu entdecken, und diese dann systematisch zu einer Theorie zusammenzufassen. Die Kenntnis dieser Theorie ist die beste Vorbereitung für das Studium der allgemeinen algebraischen Flächen.