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Tubes and spheres in \(n\)-spaces, and a class of statistical problems. (English) JFM 65.0795.02
Folgende Aufgabe der Differentialgeometrie wird behandelt: Das Volumen einer Röhre um eine Kurve \(C\) in einem Riemannschen Raume \(R_n\) ist zu ermitteln; die Röhre ist die Menge aller Punkte auf den geodätischen Strecken fester Länge, welche von \(C\) ausgehen und auf \(C\) senkrecht stehen. Das Volumen wird genau berechnet, wenn \(R_n\) der euklidische oder sphärische Raum ist. Im ersten Fall ist das Volumen gleich der Länge von \(C\) mal dem \((n - 1)\)-Volumen des Röhrenquerschnitts, wenn keine mehrfachen Bedeckungen auftreten. Ist \(R_n\) ein allgemeiner Raum, so werden die beiden ersten nichtverschwindenden Terme in der Entwicklung nach Potenzen des Röhrenradius ermittelt. Der erste Term ist natürlich derselbe wie im euklidischen \(R_n\). Der zweite wurd durch die Skalarkrümmung von \(R_n\) und die mittlere Richtungskrümmung von \(R_n\) längs \(C\) ausgedrückt. Die Lösung der Aufgabe wird bei der Anwendung einiger wichtiger statistischer Tests auf Beobachtungsreihen benötigt, z. B. bei der Frage, ob eine beobachtete Korrelation zwischen zwei Reihen von Werten reell ist, oder bei der Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate auf die Periodenanalyse von Zeitreihen.

MSC:
53Cxx Global differential geometry
62-XX Statistics
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