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Concerning accessibility. (English) JFM 65.0874.01

Es handelt sich unter anderem um die Frage, inwieweit die Axiome 0, 1 und 2 bzw. 0, 1 bis 5 im Buche des Verf. (Foundations of point set theory, 1932; F. d. M. \(58_{\text{I}}\), 763) zusammen mit zwei weiteren Axiomen \(F\) und \(K\) für die Gültigkeit einiger, sogleich anzugebender Sätze hinreichen. Unter Region ist im folgenden eine den Axiomen 0 und 1 genügende Punktmenge zu verstehen (es handelt sich, grob gesagt, um “Umgebungen”, mit Hilfe deren Überdeckungssätze sowie der Cantorsche Durchschnittsatz für fallende Folgen abgeschlossener Mengen postuliert werden). Unter einer Domäne \(D\) ist eine Punktmenge zu verstehen, deren jeder Punkt einer in \(D\) enthaltenen Region angehört. Auch alle übrigen Begriffe sind im Sinne der Mooreschen Axiomatik zu verstehen. Axiom F: Ist \(P\) Punkt einer Region \(R\) und \(X\) ein von \(P\) verschiedener Punkt, dann existiert eine endliche Teilmenge von \(R\), durch welche \(P\) von \(X\) getrennt wird. -Axiom K: Ist \(P\) Punkt einer Region \(R\), so existiert eine Domäne \(D\), welche \(P\) enthält, in \(R\) enthalten ist und von einer kompakten Punktmenge begrenzt wird.
Verf. zeigt: Aus den Axiomen 0, 1 bis 5 oder 0, 1, 2 und \(K\) (nicht aber aus 0, 1, 2 und \(F\)) im Raume \(R\) folgt: Ist die Begrenzung \(\beta\) einer zusammenhängenden Domäne \(D \subset R\) kompakt, so ist \(\beta\) enthalten in einem kompakten, in \(D + \beta\) enthaltenen Kontinuum. Weiter sei erwähnt: Aus 0, 1, 2 und \(K\) folgt: Ist die Begrenzung des Kontinuums \(M\) kompakt, so ist \(M\) kompakt-zusammenhängend (d. h. irgend zwei seiner Punkte sind durch ein kompaktes Teilkontinuum von \(M\) verbindbar). Ist \(L \subset R\) eine kompakte, stetige Kurve ohne Kondensationskontinuum, ferner \(M \subset R\) eine stetige Kurve und \(N\) ein Teilkontinuum von \(M\), dessen Begrenzung in \(M\) zu \(L\) gehört, dann ist \(N\) eine stetige Kurve. Ist \(D\) eine Komponente von \(M - L\), so ist auch \(\overline D\) eine stetige Kurve. Ist die Begrenzung \(\beta\) der abgeschlossenen Menge \(M\) kompakt, dann existiert eine abgeschlossene und kompakte Punktmenge \(M^\prime \subset M\) mit \(\beta \subset M^\prime\) derart, daß für jede Komponente \(D\) von \(M - \beta\) der Durchschnitt \(M^\prime\overline D\) ein die Begrenzung von \(D\) enthaltendes Kontinuum ist.
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