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Über ein Existenzproblem der Hydrodynamik. (German) JFM 65.0971.02
Die Arbeit, die sich in der Methode eng an die ausgedehnten diesbezüglichen Untersuchungen L. Lichtensteins (Math. Z. 26 (1927), 196-323; 32 (1930), 608-640; F. d. M. 52, 487; 56\(_{\text{II}}\), 1064) anschließt, fügt den bislang in dieser Richtung vorhandenen Existenzbeweisen einen neuen wichtigen hinzu, durch den zum ersten Male für eine große Klasse von rotationssymmetrischen Strömungen die Existenz während eines endlichen Zeitintervalles gesichert wird. Bewiesen war bis dahin ungefähr Folgendes: (1) Die Existenz einer großen Klasse von den ganzen Raum erfüllenden Strömungen, allerdings nur während eines genügend kleinen Zeitintervalles (Lichtenstein); (2) von entsprechenden ebenen Strömungen, und zwar für ein beliebiges endliches Zeitintervall; und (3) ein Existenzsatz von dieser Art: Existiert eine von geschlossenen Wirbelröhren hervorgerufene räumliche Strömung während eines endlichen Zeitintervalles, so existieren im selben Zeitintervall auch alle die Strömungen, deren anfängliche Wirbelverteilung von jener der gegebenen genügend wenig abweicht (Lichtenstein). Den beiden letzten Sätzen (2) und (3) fügt nun Verf. die bekannte Tatsache (4) hinzu: Betrachtet man eine rotationssymmetrische Strömung in irgendeinem Meridianschnitt und denkt sich in bezug auf diesen die erzeugenden kreisförmigen Wirbelröhren zu Stabwirbeln “gestreckt” und bis ins Unendliche fortgesetzt, so wird die durch diese Wirbelverteilung in dem Meridianschnitt hervorgerufene “zugehörige” ebene Strömung sich um so weniger von der ursprünglichen Strömung unterscheiden, je mehr man deren kreisförmige Wirbelfäden in bezug auf die betrachtete Meridianebene schon als Stabwirbel ansehen darf, kurz also je größer deren Durchmesser bereits sind. Durch eine geschickte Kombination der Aussagen (2), (3) und (4) gelangt nun Verf. zu seinem neuen Existenzsatz, indem er einerseits an Satz (3) als Vorbild festhält, andererseits jedoch die Strömung mit der variierten Wirbelverteilung nicht mehr mit einer entsprechenden räumlichen, sondern in Hinsicht auf (4) mit der zugehörigen ebenen Strömung, genannt “Führungsbewegung” (bzw. einer sich von dieser nur durch eine reine Translationsbewegung unterscheidenden Strömung), vergleicht, deren Existenz nach (2) in einem endlichen Zeitintervall gesichert ist. Am Schlusse zwei lehrreiche Beispiele, deren eines einen Grenzfall der von Helmholtz (in einer berühmten Arbeit über Wirbelbewegung, J. reine angew. Math. 55, (1858), 25-55) qualitativ behandelten Bewegung zweier Wirbelringe darstellt.
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