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Mouvements fluides entrainant une famille de surfaces inextensibles. (French) JFM 65.0972.03
Die Arbeit bringt wesentlich neue Gesichtspunkte zur mathematischen Behandlung der Kinematik der Flüssigkeiten. Sie fragt, ob es Bewegungen gibt, bei denen Flächen keine Längenänderung erfahren. Bei jeder Bewegung, und zwar an jedem Punkte, gibt es einen Kegel zweiten Grades in den Koordinatendifferentialen, für den keine Längenänderung stattfindet. Dieser Kegel wird durch Nullsetzen der zum Deformationstensor gehörenden Form zweiten Grades erhalten. Soll es nun Flächen der genannten Art geben, so muß dieser Kegel zerfallen, d. h. die dritte Invariante des Deformationstensors muß Null sein. Man kann jetzt einen durch den Tensor quadratisch bestimmten Vektor \(\omega\) einführen, so daß der Vektor in der Tangentialebene der gesuchten Fläche durch jede der drei miteinander identischen Gleichungen \(\vartheta d\mathfrak r = \omega \times d\mathfrak r\) eingeschränkt ist. \(\vartheta\) bedeutet den Deformationstensor. (Bez. des Ref.) Der Vektor \(\omega\) wird “rotation pure” genannt, für die Änderung der Geschwindigkeit \(V\) gilt die Eulersche Formel mit \(\varOmega = \frac 12\operatorname{rot} V + \omega\). Bei der anderen Ebene, die durch das Zerfallen des Kegels entsteht, hat \(\omega\) das andere Zeichen. Die Winkelhalbierenden beider Ebenen drehen sich mit der Winkelgeschwindigkeit \(\frac 12\) rot \(V\), der Winkel beider Ebenen öffnet sich mit der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\).
Für die gesuchte Fläche findet sich die Bestimmung grad \(f=\dfrac{J+\omega\times V}{V\cdot J}\), wo \(J\) die um \(\frac 12\) rot \(V \times V\) verminderte Beschleunigung ist und “accélération pure” genannt wird. Damit nun aber die Fläche wirklich existiert, muß noch eine Integrationsbedingung erfüllt sein, nach der das Produkt aus dem Deformationstensor und aus dem abgeleiteten und symmetrisierten \(\varOmega\) gleich div \(V\) div \(\omega + \omega\varDelta V - \omega\) rot \(\omega\) sein muß.
Man kann nun folgende Klassifikation vornehmen: entweder hat nur eine der beiden Tangentialebenen, in die der Kegel zerfällt, auch die hinreichenden Eigenschaften, oder beide haben sie, oder die beiden Ebenen fallen zusammen. Den zweiten Fall nennt Verf. “Surfaces couplées” (deutsch vielleicht mit gekoppelt wiederzugeben), den dritten “bimouvement”. Im zweiten Fall schneiden sich die beiden Flächen in materiellen Linien, im dritten ist \(\omega=0\) hinreichend und notwendig. Es ergibt sich nun im zweiten und dritten Fall noch eine Reihe interessanter Sätze, teils über die Beschleunigungen, teils über die Krümmungen, über die hier nicht genauer referiert werden kann. Der Fall, daß bei der Bewegung die Fläche über sich selbst hingleitet, bildet eine Ausnahme und muß noch besonders studiert werden.
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