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On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group. (English) JFM 65.1129.01
Die Arbeit beschäftigt sich mit der schwierigen Frage der Darstellung der Gruppe der inhomogenen Lorentztransformationen, die aus einer Translation und einer homogenen Lorentztransformation im vierdimensionalen Raum-Zeit-Kontinuum zusammengesetzt sind, durch unitare Operatoren. Dabei wird zunächst angenommen, daß die homogenen Lorentztransformationen die Zeitrichtung nicht umkehren – eine Annahme, von der sich Verf. jedoch in einem Schlußkapitel befreien kann. Gegenüber den früheren Arbeiten von Majorana (Nuovo Cimerto 9 (1932), 335-344; F. d. M. 58\(_{\text{II}}\), 1348), Dirac (Proc. R. Soc. London, A 155 (1936), 447-459; F. d. M. 62\(_{\text{II}}\), 1633) und Proca (J. Physique Radium (7) 7 (1936), 347-353; F. d. M. 62\(_{\text{II}}\), 1633) über denselben Gegenstand unterscheidet sich die vorliegende Untersuchung durch ihre mathematische Strenge. Es können auch neue Darstellungen angegeben werden.
Statt der üblichen Darstellungsdefinition wird die allgemeinere \[ D(L_2) \,D(L_1)=\omega \,D(L_2L_1) \quad (|\, \omega \,|=1, \,L_1, \,L_2 \text{ Lorentztransformationen}) \] zugrunde gelegt. Es wird jedoch gezeigt, daß man die Darstellung stets so normieren kann, daß \(\omega=\pm 1\) wird.
Es gibt keine Darstellung durch endlich-dimensionale unitäre Matrizen. Man kann bei einer Darstellung durch unendlich-dimensionale Operatoren nicht allgemein zeigen, daß jede Darstellung sich in reduzible Bestandteile zerlegen läßt. Vielmehr muß man hier nach v. Neumann eine Zerlegung in “faktorielle” Bestandteile heranziehen, das sind solche, bei denen das Zentrum der Menge aller linearen Kombinationen \[ a_1D(L_1)+a_2D(L_2)+\cdots \] und ihrer Häufungspunkte, die beschränkte Operatoren darstellen, nur aus Vielfachen der Einheit besteht.
Bezeichnet man die Translation \[ x_i^{\prime}=x_i+a_i \quad (i=1, \,2, \,3, \,4) \] mit \(T(a)\), so können nach v. Neumann die Translationen in der Form \[ T(a) \,\varphi(p, \,\zeta)=e^{i(-p_1a_1-p_2a_2-p_3a_3+p_4a_4)} \, \varphi(p, \,\zeta) \] dargestellt werden, wenn \(\varphi(p, \,\zeta)\) eine Funktion des Hilbertschen Raumes ist, die von den vier “Momentenvariabeln” \(p_1, \,p_2, \,p_3, \,p_4\) und einer diskreten Variabeln \(\zeta\) abhängt. Man kann sich auf solche \(p_1, \ldots \!, p_4\) beschränken, die aus einem solchen Quadrupel durch Lorentztransformation hervorgehen. Die Darstellungen können alsdann in solche eingeleitet werden, für die
\((1) \quad (p, \,p)>0, \quad \;\; (2) \quad (p, \,p)=0 \; (p \neq 0), \quad \;\; (3) \quad p=0, \quad \;\; (4) \quad (p, \,p)<0\)
ist, wenn \[ (p, \,p)=-p_1^2-p_2^2-p_3^2+p_4^2 \] gesetzt wird. Verf. untersucht nur die Fälle (1) und (2). Es zeigt sich, daß hier alle Darstellungen in irreduzible zerfallen. Die Darstellungen lassen sich mit Hilfe der Darstellungen der dreidimensionalen Drehgruppe und der zweidimensionalen euklidischen Bewegungsgruppe beschreiben.

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