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Canonical representation of automorphisms of a complex semisimple Lie group. (English) JFM 65.1131.02
Verf. unterwirft die Automorphismengruppen einer halbeinfachen Lieschen Gruppe einer eingehenden Untersuchung und ergänzt und vervollständigt damit Sätze von H. Weyl (Math. Z. 23 (1925), 271-309; F. d. M. 51, 319) und É. Cartan (Bull. Sci. math. (2) 49 (1925), 130-152; F. d. M. 51, 322).
Eine lineare Transformation \(A\) in einem komplexen halbeinfachen Ring \(\mathfrak{R}\) heißt ein Automorphismus, falls sie einen Kommutator wieder in einen Kommutator transformiert: \(A[x, \,y] = [Ax, \,Ay]\) \((x, \,y \subset \mathfrak{R})\). Die Gruppe \(\mathfrak{A}\) aller Automorphismen in \(\mathfrak{R}\) werde in zusammenhängende Komponenten zerlegt \(\mathfrak{A}=\mathfrak{A}_0+\mathfrak{A}_1+\cdots+\), wobei \(\mathfrak{A}_0\) die Einheit enthalte. Versteht man unter \(n_i\) die minimale Vielfachheit des Eigenwertes 1 bei allen Matrizen von \(\mathfrak{A}_i\), so nennt Verf. ein Element \(A \subset \mathfrak{A}_i\) regulär, falls es die Wurzel 1 gerade in der Vielfachheit \(n_i\) enthält. Die Gruppe aller Automorphismen, die mit \(A\) vertauschbar sind, sei in zusammenhängenden Komponenten zerlegt. Für die \(A\) enthaltende Komponente \(\mathfrak{M}_A\) gelten alsdann folgende Sätze:
1. Ist \(A\) regulär, so ist \(\mathfrak{M}_A\) ein Abelsches System, und jeder Automorphismus aus \(\mathfrak{M}_A\) besitzt einfache Elementarteiler.
2. Sind \(A, \,B \subset \mathfrak{A}_i\) regulär, so gibt es ein \(U \subset \mathfrak{A}_0\), so daß \(\mathfrak{M}_B=U^{-1} \mathfrak{M}_A U\) ist.
3. Besitzt \(C \subset \mathfrak{A}\) für die charakteristische Wurzel 1 einfache Elementarteiler, so sind alle Elementarteiler von \(C\) einfach, und es gibt eine solche reguläre Transformation \(A\), daß \(C \subset \mathfrak{M}_A\).
Für die Automorphismen \(A \subset \mathfrak{A}_0\) gibt Verf. folgende kanonische Darstellung: Entsprechen der charakteristischen Wurzel 1 von \(A\) einfache Elementarteiler, so sind alle Elementarteiler von \(A\) einfach, und es existiert ein Automorphismus \(U \subset \mathfrak{A}_0\) und ein Automorphismus \(D\) einer gleich anzugebenden speziellen Gestalt derart, daß \(A = U^{-1}DU\) ist. Hierbei läßt sich \(D\) in der Form \(D = \exp \,H\) mit einer Matrix \(H\) darstellen, die der Abelschen Infinitesimalgruppe einer maximalen Abelschen Untergruppe \(\mathfrak{H}\) von \(\mathfrak{A}\) angehört, welche ein reguläres Element enthält. Dieses Ergebnis umfaßt die von Weyl und Cartan betrachteten Sonderfälle einer kanonischen Darstellung.
Der letzte Teil der Arbeit befaßt sich mit nicht zusammenhängenden Automorphismengruppen. Hier wird auch für Automorphismen, die nicht notwendig zu \(\mathfrak{A}\) gehören, eine kanonische Gestalt angegeben.

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