Zero-dimensional branches of rank one on algebraic varieties. (English) JFM 65.1140.02

MacLane, S.; Schilling, O. F.

Ann. Math., Princeton, (2) 40, 507-520 (1939).

Sei \(\varGamma\) eine Untergruppe der additiven Gruppe der reellen Zahlen. Der Rang einer solchen Gruppe \(\varGamma\) wird als die Maximalzahl der rational unabhängigen Zahlen in \(\varGamma\) definiert.
Die Abhandlung untersucht, welche Gruppen \(\varGamma\) für eine nulldimensionale Bewertung eines algebraischen Funktionenkörpers von \(n\) Veränderlichen vorkommen können, unter der Voraussetzung, daß die Konstanten den Wert Null haben. Es wird bewiesen, daß die Wertegruppe einer solchen Bewertung entweder einen Rang \(r < n\) besitzt oder den Rang \(n\) besitzt und als direkte Summe von \(n\) unendlichen zyklischen Gruppen betrachtet werden kann. Ist umgekehrt eine Gruppe \(\varGamma\) vorgegeben, die den Rang \(r < n\) hat oder direkte Summe von \(n\) zyklischen Gruppen ist, so existiert eine nulldimensionale Bewertung eines Körpers rationaler Funktionen von \(n\) Veränderlichen, die \(\varGamma\) als Wertegruppe besitzt.
Zum Beweise des zweiten Teiles des Satzes müssen die Bewertungen explizit aufgebaut werden. Dies wird ermöglicht durch Anwendung eines Hilfssatzes, der in zwei verschiedenen Weisen bewiesen wird, und der die Existenz einer beliebigen Anzahl von algebraisch unabhängigen Potenzreihen in einer Veränderlichen über einem beliebigen Konstantenkörper behauptet.

Reviewer: Conforto, F., Prof. (Rom)

JFM Section:

Zweiter Halbband. C. Arithmetik und Algebra. 6. Zahl- und Funktionenkörper. b) Funktionenkörper.